MAP1149 – ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 A
MAP1150 – ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 B

Listy zadań

Lista 1

1.1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:

a) f (x, y) =

3x

2x − 5y

;

b) f (x, y) =

sin x

2

+ y

2

x

2

+ y

2

;

c) f (x, y) =

x

2

y

px

2

+ y

2

− 25

;

d) f (x, y) = ln

x

2

+ y

2

− 4

9 − x

2

− y

2

;

e) f (x, y, z) =

√

x +

py − 1 +

√

z − 2;

f) f (x, y, z) = arc sin x

2

+ y

2

+ z

2

− 2

.

1.2. Wykresy (rys. a)–c)) połączyć z odpowiadającymi im poziomicami (rys. A)–C)) wykonanymi dla h =
2,

3
2

, 1,

1
2

, 0:

a)

x

y

z

z

=

√

x

2

+y

2

b)

x

y

z

z

=

√

4−(x

2

+y

2

)

c)

x

y

z

z

=

1
2

(

x

2

+y

2

)

A)

x

y

2

B)

x

y

2

C)

x

y

2

1.3. Naszkicować wykresy funkcji:

a) f (x, y) = 1 −

px

2

+ y

2

;

b) f (x, y) =

p3 + 2x − x

2

− y

2

;

c) f (x, y) = x

2

− 2x + y

2

+ 2y + 3;

d) f (x, y) = sin y;

e) f (x, y) = x

2

− 1;

f) f (x, y) = 1 − |x|.

1.4. Uzasadnić, że nie istnieją granice funkcji:

a)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

y

2

x

4

+ y

4

;

b)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

y

x

4

+ y

2

;

c)

lim

(x,y)→(π,0)

sin

2

x

y

2

;

d)

lim

(x,y)→(1,1)

x + y − 2

x

2

+ y

2

− 2

.

1.5. Obliczyć granice funkcji:

a)

lim

(x,y)→(0,0)

1 − cos x

2

+ y

2

(x

2

+ y

2

)

2

;

b)

lim

(x,y)→(0,0)

xy

2

x

2

+ y

2

;

c)

lim

(x,y)→(0,0)

x

4

− y

4

x

2

− y

2

;

d)

lim

(x,y)→(1,2)

x

2

y

2

− 4x

2

− y

2

+ 4

xy − 2x − y + 2

;

e)

lim

(x,y)→(0,0)

tg x

3

− y

3

x − y

;

f)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

+ y

2

sin

1

xy

.

1

1.6. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji we wskazanych punktach:

a) f (x, y) = x

2

− xy + 1, (0, 1);

b) f (x, y) =

x + y

x

, (1, 1);

c) f (x, y) =







x

3

+ y

3

px

2

+ y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0)

0 dla

(x, y) = (0, 0)

, (0, 0);

d) f (x, y, z) =

xy

2

z

, (0, 1, 1);

e) f (x, y, z) = y

r z

x

, (1, 1, 1).

1.7. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:

a) f (x, y) =

x

2

+ y

2

xy

;

b) f (x, y) = arc tg

1 − xy

x + y

;

c) f (x, y) = e

sin

y
x

;

d) f (x, y, z) = x

2

+

xz

y

+ yz

3

;

e) f (x, y, z) =

x

x

2

+ y

2

+ z

2

;

f) f (x, y, z) = sin(x cos(y sin z)).

1.8. Sprawdzić czy podana funkcja spełnia wskazane równanie:

a) f (x, y) = ln x

2

+ xy + y

2

,

x

∂f
∂x

+ y

∂f

∂y

= 2;

b) f (x, y) =

√

x sin

y
x

,

x

∂f

∂x

+ y

∂f

∂y

=

f

2

.

Lista 2

2.1. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząst-
kowe mieszane są równe:

a) f (x, y) = sin x

2

+ y

2

;

b) f (x, y) = xe

xy

;

c) f (x, y) = x +

y
x

;

d) f (x, y) = y ln xy;

e) f (x, y, z) =

1

px

2

+ y

2

+ z

2

;

f) f (x, y, z) = ln x

2

+ y

4

+ z

6

+ 1

.

2.2. Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe funkcji:

a)

∂

3

f

∂x∂y

2

, f (x, y) = sin xy;

b)

∂

4

f

∂y

2

∂x∂y

, f (x, y) =

x + y
x − y

;

c)

∂

3

f

∂x∂y∂z

, f (x, y, z) =

x

2

y

3

z

;

d)

∂

5

f

∂x∂y

2

∂z

2

,

f (x, y, z) = e

xy

+z

.

2.3. Sprawdzić, że funkcje:

a) z = arc tg

y
x

;

b)z = x +

r

x
y

;

c)z = x + ln



1 +

y
x



;

d)z = x +

√

xy

spełniają warunek

x

2

∂

2

z

∂x

2

+ 2xy

∂

2

z

∂x∂y

+ y

2

∂

2

z

∂y

2

= 0,

gdzie x, y > 0.

2.4. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:

a) z = x

2

py + 1, (x

0

, y

0

, z

0

) = (1, 3, z

0

);

b) z = e

x

+2y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (2, −1, z

0

);

c) z =

arc sin x

arc cos y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) =

−

1
2

,

√

3

2

, z

0

!

;

d) z = x

y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (2, 4, z

0

).

2.5. a) Na wykresie funkcji z = arc tg

x
y

wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do

płaszczyzny x + y − z = 5.

b) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = arc ctg

1 − xy

x + y

, która jest prostopadła do

prostej x =

t

2

, y =

t

2

, z = t, gdzie t ∈ R.

2

2.6. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierun-
kach:

a) f (x, y) = 2|x| + |y|,

(x

0

, y

0

) = (0, 0),

~v =

√

2

2

,

√

2

2

!

;

b) f (x, y) =

3

√

xy,

(x

0

, y

0

) = (1, 0),

~v =

√

3

2

,

1
2

!

;

c) f (x, y, z) = x

2

+ yz,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (−1, 0, 1),

~v =

 3

13

,

4

13

,

12
13



.

2.7. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:

a) f (x, y) = x

2

+ y

2

, (x

0

, y

0

) = (−3, 4), ~v =

 12

13

,

5

13



;

b) f (x, y) = x −

y

x

2

+ y, (x

0

, y

0

) = (1, 1), ~v =

 3

5

, −

4
5



;

c) f (x, y, z) = a − e

xyz

, (x

0

, y

0

, z

0

) = (−1, 1, −1), ~v =

1
2

, −

3
4

,

√

3

4

!

;

d) f (x, y, z) = sin yz + cos xz − sin (cos xy), (x

0

, y

0

, z

0

) = (0, 0, 0), ~v =

 2

3

,

1
3

, −

2
3



.

2.8. a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x

2

+ 2 ln(xy). w punkcie



−

1
2

, −1



w kierunku

wersora ~v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α, pochodna ta ma wartość 0, a dla
jakiego przyjmuje wartość największą?
b) Wyznaczyć wersory ~v, w kierunku których funkcja f (x, y) =

√

e

x

x + y

2

w punkcie (0, 2) ma pochodną

kierunkową równą 0.

Lista 3

3.1. Znaleźć ekstrema funkcji:

a) f (x, y) = 3(x − 1)

2

+ 4(y + 2)

2

;

b) f (x, y) = x

3

+ y

3

− 3xy;

c) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 51x − 24y;

d) f (x, y) = e

−

(

x

2

+y

2

+2x

);

e) f (x, y) = xy

2

(12 − x − y), gdzie x, y > 0;

f) f (x, y) =

8

x

+

x

y

+ y; gdzie x, y > 0.

3.2. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:

a) f (x, y) = x

2

+ y

2

, 3x + 2y = 6;

b) f (x, y) = x

2

+ y

2

− 8x + 10, x − y

2

+ 1 = 0;

c) f (x, y) = x

2

y − ln x, 8x + 3y = 0;

d) f (x, y) = 2x + 3y, x

2

+ y

2

= 1.

3.3. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:

a) f (x, y) = 2x

3

+ 4x

2

+ y

2

− 2xy, D =

(x, y) ∈ R

2

: x

2

¬ y ¬ 4

;

b) f (x, y) = x

2

+ y

2

− 6x + 4y, D =

(x, y) ∈ R

2

: x + y ¬ 4, 2x + y ¬ 6, x ­ 0, y ­ 0

;

c) f (x, y) = x

2

+ y

2

, D =

(x, y ∈ R

2

: |x| + |y| ¬ 2

;

d) f (x, y) = xy

2

+ 4xy − 4x, D =

(x, y) ∈ R

2

: −3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0

;

e) f (x, y) = x

4

+ y

4

, D =

(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ 9

;

f*) f (x, y) =

x

2

− 1

y

2

− 1

(x

2

+ y

2

+ 2)

2

, D = R

2

.

3.4. a) W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x

0

, y

0

), dla

którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.

b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?

3

c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:

k :

 x + y − 1 = 0,

z + 1

= 0,

l :

 x − y + 3 = 0,

z − 2

= 0.

d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m

3

. Do budowy ścian magazynu używane są płyty

w cenie 30 zł/m

2

, do budowy podłogi w cenie 40 zł/m

2

, a sufitu w cenie 20 zł/m

2

. Znaleźć długość a, szerokość

b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
f) Firma produkuje 32 i 40 calowe telewizory plazmowe w cenach zbytu odpowiednio 400 e i 600 e za sztukę.
Koszty wyprodukowania x sztuk telewizorów 32 calowych i y 40 calowych wynoszą

K(x, y) =

1
2

x

2

+ xy + y

2

e

.

Ile sztuk telewizorów 32 i 40 calowych powinna wyprodukować firma aby osiągnąć jak największy zysk?

Lista 4

4.1. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:

a)

ZZ

R

x + xy − x

2

− 2y

dxdy, gdzie R = [0, 1] × [0, 1]; b)

ZZ

R

dxdy

(x + y + 1)

3

, gdzie R = [0, 2] × [0, 1];

c)

ZZ

R

x sin xy dxdy, gdzie R = [0, 1] × [π, 2π];

d)

ZZ

R

e

2x−y

dxdy , gdzie R = [0, 1] × [−1, 0].

4.2. Całkę podwójną

ZZ

D

f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi

o równaniach:

a) x

2

+ y = 2, y

3

= x

2

;

b) x

2

+ y

2

= 4, y = 2x − x

2

, x = 0 (x, y ­ 0);

c) x

2

− 4x + y

2

+ 6y − 51 = 0;

d) x

2

− y

2

= 1, x

2

+ y

2

= 3 (x < 0).

4.3. Obliczyć całki iterowane:

a)

4

Z

1

dx

x

2

Z

x

y

x

2

dy;

b)

4

Z

1

dx

2x

Z

x

x

2

√

y − x dy;

c)

2

Z

−2

dx

√

4−x

2

Z

0

x

3

+ y

3

dy;

d)

3

Z

0

dy

y

Z

0

py

2

+ 16 dx.

Narysować obszary całkowania.

4.4. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:

a)

1

Z

−1

dx

|x|

Z

0

f (x, y) dy;

b)

1

Z

−1

dx

0

Z

−

√

1−x

2

f (x, y) dy;

c)

4

Z

0

dx

2

√

x

Z

√

4x−x

2

f (x, y) dy;

d)

√

2

Z

−

√

2

dy

y

2

2

Z

y

2

−1

f (x, y) dx;

e)

π

Z

π

2

dx

sin x

Z

cos x

f (x, y) dy;

f)

e

Z

1

dx

1

Z

ln x

f (x, y) dy.

4.5. Obliczyć podane całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:

a)

ZZ

D

xy

2

dxdy, D : y = x, y = 2 − x

2

;

b)

ZZ

D

x

2

y dxdy, D : y = −2, y =

1

x

, y = −

√

−x;

c)

ZZ

D

(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = −1, y = 3 − x

2

(x ­ 0);

d)

ZZ

D

xy + 4x

2

dxdy, D : y = x + 3, y = x

2

+ 3x + 3;

e)

ZZ

D

(2x − 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = −1, x = sin y;

f)

ZZ

D

e

x
y

dxdy, D : y =

√

x, x = 0, y = 1;

g)

ZZ

D

e

x

2

dxdy, D : y = 0, y = 2x, x =

√

ln 3;

h)

ZZ

D

x

2

e

xy

dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0.

4

Lista 5

* 5.1. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

a)

ZZ

D

min(x, y) dxdy, gdzie D = [0, 1]×[0, 2];

b)

ZZ

D

⌊x + y⌋ dxdy, gdzie D = [0, 2]×[0, 2];

c)

ZZ

D

|x − y| dxdy, gdzie D =

(x, y) ∈ R

2

: x ­ 0, 0 ¬ y ¬ 3 − 2x

;

d)

ZZ

D

sgn x

2

− y

2

+ 2

dxdy, gdzie D = (x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ 4

.

Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u.

5.2. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:

a) f (x, y) = sin x cos y, gdzie D = [0, π] ×

h

0,

π

2

i

;

b) f (x, y) = x + y, gdzie D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.

5.3. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

a)

ZZ

D

xy

2

dxdy, gdzie D : x ­ 0, 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 2;

b)

ZZ

D

y

2

e

x

2

+y

2

dxdy, gdzie D : x ­ 0, y ­ 0, x

2

+ y

2

¬ 1;

c)

ZZ

D

x

2

dxdy, gdzie D : x

2

+ y

2

¬ 2y;

d)

ZZ

D

y dxdy, gdzie D : x

2

+ y

2

¬ 2x;

e)

ZZ

D

x

2

+ y

2

dxdy, gdzie D : y ­ 0, y ¬ x

2

+ y

2

¬ x;

f*)

ZZ

D

x

px

2

+ y

2

dxdy, gdzie D : x ­ 0, x

2

+ y

2

2

¬ 4 x

2

− y

2

.

Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.

Lista 6

6.1. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:

a)

ZZ

U

Z

x dxdydz

yz

, gdzie U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];

b)

ZZ

U

Z

(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];

c)

ZZ

U

Z

sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [0, π] × [0, π] × [0, π];

d)

ZZ

U

Z

(x + y)e

x

+z

dxdydz, gdzie U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

6.2. Całkę potrójną

ZZ

U

Z

f (x, y, z) dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar U jest ograniczony po-

wierzchniami o podanych równaniach:

5

a) z = 2

px

2

+ y

2

, z = 6;

b) x

2

+ y

2

+ z

2

= 25, z = 4, (z ­ 4);

c) z = x

2

+ y

2

, z =

p20 − x

2

− y

2

.

6.3. W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania (rozważyć wszystkie przypadki):

a)

1

Z

0

dx

2−2x

Z

0

dy

3−3x−

3
2

y

Z

0

f (x, y, z) dz;

b)

2

Z

−2

dx

0

Z

−

√

4−x

2

dy

√

4−x

2

−y

2

Z

−

√

4−x

2

−y

2

f (x, y, z) dz;

c)

3

Z

0

dz

√

z

Z

−

√

z

dx

√

z

−x

2

Z

−

√

z

−x

2

f (x, y, z) dy;

d)

1

Z

0

dx

√

1−x

2

Z

0

dy

1

Z

x

2

+y

2

f (x, y, z) dz.

6.4. Obliczyć całki potrójne z danych funkcji po wskazanych obszarach:
a) f (x, y, z) = ex + y + z , gdzie U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;

b) f (x, y, z) =

1

(3x+2y +z +1)

4

, gdzie U : x ­ 0, y ­ 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;

c) f (x, y, z) = x

2

+ y

2

, gdzie U : x

2

+ y

2

¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x;

d) f (x, y, z) = x

2

y

2

, gdzie U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1.

6.5. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:

a)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

+ z

2

2

dxdydz, gdzie U : x

2

+ y

2

¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;

b)

ZZ

U

Z

xyz dxdydz, gdzie U :

px

2

+ y

2

¬ z ¬

p1 − x

2

− y

2

;

c)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

dxdydz, gdzie U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ R

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 2Rz;

d)

ZZ

U

Z

(x + y + z) dxdydz, gdzie U : x

2

+ y

2

¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.

6.6. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:

a)

ZZ

U

Z

dxdydz

px

2

+ y

2

+ z

2

, gdzie U : 4 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9;

b)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

dxdydz, gdzie U :

px

2

+ y

2

¬ z ¬

p1 − x

2

− y

2

;

c)

ZZ

U

Z

z

2

dxdydz, gdzie U : x

2

+ y

2

+ (z − R)

2

¬ R

2

(R > 0);

d)

ZZ

U

Z

x

2

dxdydz, gdzie U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4x.

Lista 7

7.1. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:

a) y

2

= 4x,

x + y = 3,

y = 0 (y ­ 0);

b) x

2

+ y

2

− 2y = 0,

x

2

+ y

2

− 4y = 0;

c) x + y = 4,

x + y = 8,

x − 3y = 0,

x − 3y = 5;

d) x

2

+ y

2

= 2y,

y =

√

3|x|.

7.2. Korzystając z całki podwójnej, obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:

a) x

2

+ y

2

− 2y = 0, z = x

2

+ y

2

,

z = 0;

b) x

2

+ y

2

+ z

2

− 2z = 0;

c*) (x − 1)

2

+ (y − 1)

2

= 1,

z = xy,

z = 0;

d*) 2z = x

2

+ y

2

,

y + z = 4.

7.3. Obliczyć pola płatów:
a) z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

¬ 1;

6

b) x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, x

2

+ y

2

− Rx ¬ 0, z ­ 0;

c) z =

px

2

+ y

2

, 1 ¬ z ¬ 2.

7.4. Korzystając z całki potrójnej, obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:

a) x

2

+ y

2

= 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;

b) x = −1, x = 2, z = 4 − y

2

, z = 2 + y

2

;

c) z =

1

1 + x

2

+ y

2

, z = 0, x

2

+ y

2

= 1;

d) x

2

+ y

2

+ z

2

= 2, y = 1 (y ­ 1).

7.5. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach:
a) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x

, gdzie σ(x, y) = x;

b) D =

(x, y) ∈ R

2

: 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 4, y ­ 0

, gdzie σ(x, y) = |x|;

c) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], gdzie γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;

d) U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9, gdzie γ(x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

7.6. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych:

a) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;

b) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin

2

x

;

c) D =

(x, y) ∈ R

2

: x

2

¬ y ¬ 1

;

d) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ e

x

;

e) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;

f) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;

g) U : x

2

+ y

2

¬ z ¬

p2 − x

2

− y

2

.

7.7. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
a) D – kwadrat jednorodny o boku a, przekątna kwadratu, przyjąć σ(x, y) = 1;

b) D =

(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ R

2

, y ­ 0

, oś Ox, przyjąć σ(x, y) =

px

2

+ y

2

;

c) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ y ¬ 1 − x

2

, oś symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x

2

;

d) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x

, oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x.

7.8. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M :
a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy.

Lista 8

8.1. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:

a)

∞

X

n

=0

 5

6



n

;

b)

∞

X

n

=2

n − 1

n!

;

c)

∞

X

n

=1

1

(2n − 1)(2n + 1)

;

d)

∞

X

n

=1

1

√

n + 1 +

√

n

.

Uwaga.

W przykładzie

b)

przyjąć, że S

n

=

n

X

k=2

a

k

, gdzie n ­ 2.

8.2. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:

a)

∞

X

n

=1

1

n

2

+ n

;

b)

∞

X

n

=1

n

n

2

+ 4

;

c)

∞

X

n

=2

ln n

n

2

;

d)

∞

X

n

=1

1

n

√

n + 1

.

8.3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:

a)

∞

X

n

=1

n

2

+ n + 1

2n

3

− 1

;

b)

∞

X

n

=1

n + 1

√

n

3

+ 1

;

c)

∞

X

n

=1

2

n

− 1

3

n

− 1

;

d)

∞

X

n

=1

sin

π

3

n

sin

π

2

n

.

8.4. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:

a)

∞

X

n

=1

3

n

2

+ 2

;

b)

∞

X

n

=1

n + 1

n

2

+ 1

;

c)

∞

X

n

=1

sin

π

2

n

;

d)

∞

X

n

=0

2

n

+ sin n!

3

n

;

e)

∞

X

n

=1

3 − 2 cos n

2

√

n

;

f)

∞

X

n

=1

3

n

+ 1

n3

n

+ 2

n

.

7

8.5. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:

a)

∞

X

n

=1

100

n

n!

;

b)

∞

X

n

=1

n

2

sin

π

2

n

;

c)

∞

X

n

=1

n!

n

n

;

d)

∞

X

n

=1

(n!)

2

(2n)!

;

e)

∞

X

n

=1

n

n

3

n

n!

;

f)

∞

X

n

=1

2

n

+ 1

n

5

+ 1

.

Lista 9

9.1. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:

a)

∞

X

n

=1

(n + 1)

2n

(2n

2

+ 1)

n

;

b)

∞

X

n

=1

2

n

+ 3

n

3

n

+ 4

n

;

c)

∞

X

n

=1

3

n

n

n

2

(n + 1)

n

2

;

d)

∞

X

n

=1

arc cos

n

1

n

2

.

9.2. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności sze-
regów uzasadnić podane równości:

a) lim

n

→∞

7

n

n

5

= ∞;

b) lim

n

→∞

n

n

(n!)

2

= 0;

c) lim

n

→∞

n!

n

n

= 0;

d*) lim

n

→∞

(3n)!(4n)!
(5n)!(2n)!

= 0.

9.3. Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych:

a)

∞

X

n

=1

(−1)

n

n − 1

n

2

+ 5

;

b)

∞

X

n

=1

(−1)

n

n

2

(2n + 3)

n

;

c)

∞

X

n

=3

(−1)

n

+1

ln n

n ln ln n

;

d)

∞

X

n

=1

(−1)

n

+1



e −



1 +

1

n



n



.

9.4. Obliczyć sumy przybliżone podanych szeregów ze wskazaną dokładnością:

a)

∞

X

n

=1

(−1)

n

+1

1

n10

n

, δ = 10

−6

;

b)

∞

X

n

=0

(−1)

n

1

(2n + 1)!

, δ = 10

−3

.

9.5. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:

a)

∞

X

n

=1

(−1)

n

+1

2

n

+ 1

;

b)

∞

X

n

=2

(−1)

n

n

n

2

+ 1

;

c)

∞

X

n

=1



−2n

3n + 5



n

;

d)

∞

X

n

=2

(−1)

n



n

√

3 − 1



;

e)

∞

X

n

=0

(−2)

n

3

n

+ 1

;

f*)

∞

X

n

=0

(−1)

⌊

n

2

⌋

n + 1

.

Lista 10

10.1. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:

a)

∞

X

n

=1

x

n

n2

n

;

b)

∞

X

n

=1

n(x − 2)

n

;

c)

∞

X

n

=1

(x + 3)

n

n

3

;

d)

∞

X

n

=0

x

n

2

n

+ 3

n

;

e)

∞

X

n

=1

n

n

2

+ 1

(x + 1)

n

;

f*)

∞

X

n

=1

n!x

n

n

n

.

10.2. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:

a)

2

1 − 3x

;

b) cos

x

2

;

c) xe

−2x

;

d)

x

9 + x

2

;

e) sh x;

f*) sin

4

x.

10.3. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:

a) f

(50)

(0), gdzie f (x) = x sin x;

b) f

(2006)

(0), gdzie f (x) =

x

e

x

;

c) f

(21)

(0), gdzie f (x) =

x

3

1 + x

2

;

d) f

(10)

(0), gdzie f (x) = sin

2

3x.

8

10.4. Wyznaczyć szeregi potęgowe funkcji f

′

(x) oraz

x

Z

0

f (t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:

a) f (x) =

1

2x − 1

;

b) f (x) =

1

1 + x

2

.

10.5. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:

a)

∞

X

n

=0

1

(n + 1)2

n

;

b)

∞

X

n

=2

2n − 1

3

n

;

c)

∞

X

n

=1

n(n + 1)

4

n

.

10.6. Obliczyć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:

a)

1

Z

0

e

x

2

dx, δ = 0.001;

1

Z

0

sin x

2

dx, δ = 0.0001.

Lista 11

11.1. Na przedziale [−π, π] wyznaczyć szeregi Fouriera funkcji:

a) f (x) = x;

b) f (x) = |x|;

c) f (x) = e

x

;

d) f (x) = cos

x

3

;

e) f (x) = x sin x;

f) f (x) = sin

3

x;

g) f (x) =

 −1 dla −π ¬ x < 0,

1 dla 0 ¬ x ¬ π;

h) f (x) =

 0 dla −π ¬ x < 0,

x dla 0 ¬ x ¬ π;

i) f (x) =



0

dla −π ¬ x < 0,

sin x dla 0 ¬ x ¬ π.

11.2. Funkcję f (x) = x

2

rozwiąć w szereg Fouriera:

a) cosinusów naprzedziale (−π, π);

b) sinusów na przedziale (0, π);

c) na przedziale (0, 2π).

Korzystając z otrzymanych rozwinięć wyznaczyć sumy szeregów liczbowych:

i)

∞

X

n

=1

1

n

2

;

ii)

∞

X

n

=1

(−1)

n

+1

n

2

;

iii)

∞

X

n

=1

1

(2n − 1)

2

.

11.3. Rozwinąć w szereg Fouriera sinusów funkcje:

a) f (x) = a dla x ∈ [0, π], gdzie a 6= 0;

b) f (x) = x(π − x) dla x ∈ [0, π].

11.4. Rozwinąć w szereg Fouriera cosinusów funkcje:

a) f (x) = π − x dla x ∈ [0, π];

b) f (x) = x(π − x) dla x ∈ [0, π].

11.5. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcje okresowe:

a)

y

x

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

1

b)

y

x

−2π

−

3
2 π

−π

− π

2

2

π

3
2 π

π

π

2

π

2

c)

y

x

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

1

d)

y

x

−2π

−

3
2 π

−π

− π

2

2

π

3
2 π

π

π

2

1

y=

| cos x|

11.6. Wyznaczyć współczynniki Fouriera funkcji f (x+π), jeżeli a

n

, b

n

, gdzie n = 0, 1, 2, . . . są współczynnikami

Fouriera funkcji f o okresie 2π.

11.7. Przedstawić za pomocą wzoru całkowego Fouriera funkcje:

a) f (x) =

(

1 dla

|x| < 1,

0 dla

|x| > 1;

b) f (x) =

(

sgn x

dla |x| < 1,

0

dla |x| > 1;

c) f (x) =

(

sin x dla

|x| ¬ π,

0

dla

|x| > π;

d) f (x) =







cos x dla

|x| ¬

π

2

,

0

dla

|x| >

π

2

.

9

Lista 12

12.1. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:

a) f (t) =

(

sin t

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

b) f (t) =











cos t

dla

|t| ¬

π

2

,

0

dla

|t| >

π

2

;

c) f (t) =

(

t

dla |x| ¬ 1,

0

dla |x| > 1;

d) f (t) =

(

t

2

dla |t| ¬ 1,

0

dla |t| > 1;

e) f (t) = e

−|t|

;

f*) f (t) = e

−at

2

, gdzie a 6= 0.

Wskazówka. f*) Wykorzystać równość

∞

Z

−∞

e

−at

2

dt =

r π

a

.

12.2. Niech c, h ∈ R oraz δ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji

y

t

c

c

−

δ
2

c

+

δ
2

h

12.3. Pokazać, że jeżeli F {f(t)} = ˆ

f (ω), to:

a) F {f(t) cos αt} =

1
2

h ˆ

f (ω − α) + ˆ

f (ω + α)

i

;

b) F {f(t) sin αt} =

1

2i

h ˆ

f (ω − α) − ˆ

f (ω + α)

i

.

12.4. Korzystając z własności transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty
funkcji:

a) f (t) = e

−3|t−1|

;

b) f (t) = te

−|t|

;

c) f (t) = e

−4t

2

−4t−1

;

d) f (t) =

(

cos

t

2

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

e) f (t) =

(

2 cos t

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

f) f (t) = [1(t) − 1(t − 4)] · t;

g) f (t) = 1(t) · e

−t

cos t;

h) f (t) = e

−|t|

cos

t

2

;

i) f (t) = e

−|t|

sin 2t.

Uwaga. 1(t) =



0 dla

t < 0,

1 dla

t ­ 0

– funkcja Heaviside’a.

12.5. Korzystając z zadania 12.2 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji:

a)

y

t

−2

2

2

b)

y

t

−2 −1

2

1

2

12.6. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym (rys.).

x

(t)

y

(t)

R

L

C

+

−

+

−

Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t).

12.7. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t

2

f

′′

(t) + 2f

′′′

(t), jeżeli ˆ

f (ω) =

1

1 + ω

2

.

12.8. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:

a)

1

1 + 2iω

;

b)

1

4 + ω

2

;

c)

e

2iω

1 + iω

;

e)

sin ω cos ω

2ω

;

f)

1

(1 + ω

2

) (4 + ω

2

)

;

10

12.9. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:

a) f (t) = g(t) = 1(t) − 1(t − 1),

b) f (t) = 1(t) − 1(t − 1), g(t) = 1(t + 1) − 1(t),

c) f (t) = 1(t) · e

−t

, g(t) = 1(t) · e

−2t

,

d) f (t) = g(t) = e

−t

2

.

Lista 13

13.1. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a funkcji:

a) 2t − 1;

b) sin 2t;

c) t

2

;

d) te

−t

;

e) e

2t

cos 2t;

f) sh t;

g)

y

t

1

y

=f (t)

1

h)

y

t

1

2

y

=g(t)

1

i)

y

t

1

y

=h(t)

1

13.2. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać:

a)

1

s + 2

;

b)

s

s

2

+ 4s + 5

;

c)

1

s

2

− 4s + 3

;

d)

s + 2

(s + 1)(s − 2) (s

2

+ 4)

;

e)

s

2

+ 1

s

2

(s

2

− 1)

2

;

f)

s + 9

s

2

+ 6s + 13

;

g)

2s + 3

s

3

+ 4s

2

+ 5s

;

h)

3s

2

(s

3

− 1)

2

;

i)

e

−s

s + 1

.

13.3. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach:

a) y

′

− y = 1, y(0) = 1;

b) y

′

− 2y = sin t, y(0) = 0;

c) y

′′

+ y

′

= 0, y(0) = 1, y

′

(0) = 1;

d) y

′′

+ 3y

′

= e

−3t

, y(0) = 0, y

′

(0) = −1;

e) y

′′

− 2y

′

+ 2y = sin t, y(0) = 0, y

′

(0) = 1;

f) y

′′

− 2y

′

+ y = 1 + t, y(0) = 0, y

′

(0) = 0;

g) y

′′

+ 4y

′

+ 4y = t

2

, y(0) = 0, y

′

(0) = 0;

h) y

′′

+ 4y

′

+ 13y = te

−t

, y(0) = 0, y

′

(0) = 2.

13.4. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty funkcji:

a) sin

4

t;

b) cos 4t cos 2t;

c) t

2

cos t;

d) t sh 3t;

e) te

t

cos t;

f) e

3t

sin

2

t;

g) 1(t − 2) sin(t − 2);

h) 1(t − 1)e

t

−1

.

13.5. Obliczyć sploty par funkcji:

a) f (t) = e

t

, g(t) = e

2t

;

b) f (t) = cos 3t, g(t) = cos t;

c) f (t) = 1(t), g(t) = sin t;

d) f (t) = e

t

, g(t) = t.

13.6. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami:

a)

1

(s + 1)(s + 2)

;

b)

1

(s − 1)

2

(s + 2)

;

c)

1

s

2

(s

2

+ 1)

;

d)

s

(s

2

+ 1)

2

.

1I

Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas

11