AM2 pd.4 2011/12
Zadania z ćwiczeń i zadania domowe
Zad.1
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
x
x
f
)
(
w przedziale
,
.
Odp.
nx
n
x
x
x
x
x
n
n
sin
)
1
(
2
4
sin
2
1
3
sin
3
2
2
sin
sin
2
1
1
,
x
Naszkicować wykres funkcji będącej sumą otrzymanego szeregu trygonometrycznego.
Odp.
nx
n
x
x
x
x
x
S
n
n
sin
)
1
(
2
4
sin
2
1
3
sin
3
2
2
sin
sin
2
)
(
1
1
R
x
Zgodnie z twierdzeniem
)
(
)
2
(
x
S
x
S
R
x
x
x
f
x
S
)
(
)
(
w punktach ciągłości funkcji f czyli w przedziale
,
.
)
(
lim
)
(
lim
2
1
)
(
)
(
x
f
x
f
S
S
x
x
x
dla
x
dla
x
x
S
0
)
,
(
)
(
zad.2
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
2
)
(
x
x
f
w przedziale
1
,
1
.
Odp.
x
n
n
x
x
x
x
n
n
cos
)
1
(
4
3
cos
9
4
2
cos
1
cos
4
3
1
1
2
2
2
2
2
2
1
,
1
x
x
n
n
x
x
x
x
S
n
n
cos
)
1
(
4
3
cos
9
4
2
cos
1
cos
4
3
1
)
(
1
2
2
2
2
2
)
(
)
2
(
x
S
x
S
R
x
zad. 3
Korzystając z zad.2 obliczyć sumę szeregu liczbowego
1
2
1
n
n
.
odp.wsk.
n
n
)
1
(
cos
;
6
1
2
1
2
n
n
zad.4
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
x
x
f
sin
)
(
w przedziale
,
.
Odp. funkcja f jest parzysta
0
n
b
,
4
0
a
,
parzystych
n
dla
n
ych
nieparzyst
n
dla
a
n
1
4
0
2
nx
n
x
x
x
x
n
2
cos
1
4
1
4
2
6
cos
35
1
4
cos
15
1
2
cos
3
1
4
2
sin
1
2
,
R
x
.
Wsk. Przyda się wzór
)
sin(
)
sin(
2
1
sin
sin
y
x
y
x
y
x
.
zad.5
Przygotowują p.Krajewski,Nowicki gr.1,2; P. Dąbrowski,p.Knapińska gr.3,4
Rozwinąć funkcję
2
4
)
(
x
x
f
dla
)
,
0
(
x
a) w szereg cosinusów . Naszkicować wykres funkcji równej sumie otrzymanego szeregu.
b) w szereg sinusów . Naszkicować wykres funkcji równej sumie otrzymanego szeregu.
Wsk. W szereg sinusów rozwijają się funkcje nieparzyste. Wystarczy zatem rozważyć w
przedziale
)
,
(
funkcję g, taką że g jest funkcją nieparzystą i na przedziale
)
,
0
(
równą
zadanej funkcji f.