AM sem II wykład 1
22.02.2012
1
S
ZEREGI LICZBOWE
Niech
n
a
będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych.
D
EFINICJA
Szeregiem liczbowym o wyrazach
n
a nazywamy ciąg
n
S
zwany ciągiem sum częściowych, gdzie
n
k
k
n
n
a
a
a
a
S
1
2
1
dla
N
n
Szereg oznaczamy
1
n
n
a
n
a
n
a
a
a
2
1
Szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych
n
S
jest zbieżny.
Jeżeli ciąg sum częściowych
n
S
jest zbieżny do liczby S
S
S
n
lim
,
to liczbę S nazywamy sumą szeregu, piszemy
S
a
n
n
1
.
Na oznaczenie szeregu zbieżnego można stosować zapis
1
n
n
a
.
Szereg nazywamy rozbieżnym, jeżeli nie jest zbieżny.
Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny do
, to mówimy, że szereg jest rozbieżny do
i
piszemy
1
n
n
a
.
T
W
.
(
WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGU
)
Jeżeli szereg
1
n
n
a
jest zbieżny, to
0
lim
n
a
.
W
NIOS EK
Jeżeli
0
lim
n
n
a
albo
n
n
a
lim
nie istnieje, to szereg
1
n
n
a
jest rozbieżny.
U
WAGA
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym rozbieżny szereg harmoniczny
1
1
3
1
2
1
1
n
n
, dla którego spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu
0
1
lim
lim
n
a
n
.
AM sem II wykład 1
22.02.2012
2
T
W
.
(
WARUNEK
(
KONIECZNY I WYSTARCZAJĄCY
)
C
AUCHY
’
EGO ZBIEŻNOŚCI SZEREGU
)
Szereg
1
n
n
a
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
n
m
m
a
a
a
N
n
m
n
N
n
1
0
0
0
Warunek ten można wypowiedzieć : dla zbieżności szeregu potrzeba i wystarczy by suma dowolnej
liczby kolejnych lecz dostatecznie dużych (istnieje liczba
0
n
) wyrazów była dowolnie mała
WAŻNE
SZEREGI
S
ZEREG GEOMETRYCZNY
0
1
1
1
2
n
n
n
n
n
aq
aq
aq
aq
aq
a
Szereg geometryczny o ilorazie q bezwzględnie mniejszym od 1 (
1
q
) jest zbieżny do sumy
q
a
1
.
q
a
aq
aq
aq
aq
a
q
n
n
n
1
1
1
1
1
2
w szczególności
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
1
1
1
1
2
S
ZEREG HARMONICZNY
1
1
3
1
2
1
1
n
n
Szereg harmoniczny jest rozbieżny, a ciąg jego sum częściowych rośnie do
.
1
1
3
1
2
1
1
n
n
S
ZEREG HARMONICZNY RZĘDU
r
,
(
UOGÓLNONY SZEREG HARMONICZNY Z WYKŁADNIKIEM
r)
1
1
3
1
2
1
1
n
r
r
r
n
Szereg
1
1
n
r
n
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
1
r
.
Dla
1
r
szereg
1
1
n
r
n
jest rozbieżny.
S
ZEREG ANHARMONICZNY
1
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
n
n
n
Szereg anharmoniczny jest zbieżny
1
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
n
n
n
.
AM sem II wykład 1
22.02.2012
3
T
W
.
DZIAŁANIA NA SZEREGACH
Jeżeli szeregi
1
n
n
a
,
1
n
n
b
są zbieżne, to
a) szeregi
1
n
n
n
b
a
są zbieżne oraz
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
b) szereg
1
n
n
a
,
R
jest zbieżny
1
1
n
n
n
n
a
a
F
AKT
Jeżeli w szeregu zbieżnym (albo rozbieżnym) zmienimy skończoną liczbę wyrazów, to otrzymamy szereg,
który jest też zbieżny ( odpowiednio rozbieżny).
Jeżeli w szeregu rozbieżnym zmienimy skończoną liczbę wyrazów, to otrzymamy szereg, który jest też
rozbieżny.
AM sem II wykład 1
22.02.2012
4
K
RYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
S
ZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH
Uwaga
Jeżeli
0
n
a
dla każdego naturalnego n, to ciąg sum częściowych
n
S
jest niemalejący.
Szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny albo rozbieżny do
.
TW
.
Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest
zbieżny.
T
W
.
K
RYTERIUM PORÓWNAWCZE ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
Jeżeli wyrazy szeregów
1
n
n
a
,
1
n
n
b
są nieujemne oraz dla prawie wszystkich liczb naturalnych
spełniona jest nierówność
n
n
b
a
, to
1) jeżeli szereg
1
n
n
b
jest zbieżny, to szereg
1
n
n
a
jest zbieżny;
2) jeżeli szereg
1
n
n
a
jest rozbieżny, to szereg
1
n
n
b
jest rozbieżny.
T
W
.
K
RYTERIUM ILORAZOWE
(
D
’A
LAMBERTA
)
Jeżeli wyrazy szeregu
1
n
n
a
są dodatnie oraz
g
a
a
n
n
1
lim
, to
dla
1
g
szereg jest zbieżny,
dla
g
1
szereg jest rozbieżny.
U
WAGA
Jeżeli
1
g
kryterium nie rozstrzyga o zbieżności szeregu.
T
W
.
K
RYTERIUM PIERWIASTKOWE
(C
AUCHY
’
EGO
)
Jeżeli wyrazy szeregu
1
n
n
a
są nieujemne oraz
g
a
n
n
lim
, to
dla
1
g
szereg jest zbieżny,
dla
g
1
szereg jest rozbieżny.
U
WAGA
Jeżeli
1
g
kryterium nie rozstrzyga o zbieżności szeregu.
Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze od kryterium d’Alamberta. Jeśli kryterium ilorazowe rozstrzyga
o zbieżności szeregu, to i kryterium pierwiastkowe także rozstrzyga.
AM sem II wykład 1
22.02.2012
5
TW:
(
KRYTERIUM CAŁKOWE ZBIEŻNOŚCI SZEREGU
)
Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale
)
,
0
n
, gdzie
N
n
0
, to całka niewłaściwa
0
)
(
n
dx
x
f
i
0
)
(
n
n
n
f
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne do
.
S
ZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Szereg postaci
1
1
)
1
(
n
n
n
a
N
n
a
n
,
0
nazywamy szeregiem naprzemiennym.
1
1
4
3
2
1
4
3
2
1
)
1
(
)
(
)
(
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
N
n
a
n
,
0
Wyrazy tego szeregu są naprzemian dodatnie i ujemne.
T
W
.
K
RYTERIUM
L
EIBNIZA
Jeżeli ciąg
)
(
n
a
jest nierosnący oraz
0
lim
n
a
, to szereg naprzemienny
1
1
)
1
(
n
n
n
a
jest zbieżny oraz
1
n
n
a
S
S
.
Z
BIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA
Szereg
1
n
n
a
nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli szereg
1
n
n
a
jest zbieżny.
TW:
(
O ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW ZBIEŻNYCH BEZWZGLĘDNIE
)
Jeżeli szereg
1
n
n
a
jest zbieżny, to szereg
1
n
n
a
jest zbieżny.
Inaczej
Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.
U
WAGA
Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.
Przykład
Szereg anharmoniczny jest zbieżny
1
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
n
n
n
, zaś szereg modułów
1
1
1
1
)
1
(
4
1
3
1
2
1
1
n
n
n
n
n
rozbieżny.
Szereg zbieżny
1
n
n
a
nazywamy zbieżnym warunkowo, gdy szereg
1
n
n
a
jest rozbieżny.
Szereg anharmoniczny jest zbieżny warunkowo.
U
WAGA
!
Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to dowolna zmiana kolejności wyrazów lub łączenie wyrazów
w grupy – nie narusza zbieżności szeregu ani nie zmienia jego sumy.
AM sem II wykład 1
22.02.2012
6
Jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to zmieniając kolejność wyrazów można otrzymywać szeregi o
różnych sumach lub szeregi rozbieżne.