Pochodna Kierunkowa: 

1. Normalizujemy wektor. 
2. Liczymy gradient funkcji. 
3. Wstawiamy podany pkt. do gradientu. 

4. wstawiamy do:

  
  

  

 

   

 

   

 

           

 

   

 

   

 

 

 

   

  

Pochodna Kierunkowa z definicji: 

1. Normalizujemy wektor. 

2.    

   

   

 

        

 

 

 

 

 

Pochodna funkcji uwikłanej: 

1.  

 

       

 

 

 

        

 

 

 

        

 

2. Druga pochodna, to pochodna pochodnej. Pamiętać, że tam wystąpi y w roli y(x). Za y’(x) wstawiać pierwszą pochodną.   

 

Ekstremum: 

1. Rozwiązać układ:  

           

 

 

 

   

 

 

 

   

 Wyznaczyć pkt. stacjonarne. 

2. Wsadź je do równania  

 

 

    i sprawdź czy faktycznie    . 

3. Jeśli tak, policz  

 

   

 

  

 

 

 

 

 gdy > 0 to min. lokalne, gdy <0 max. lokalne. np. P(0,-1). f. osi. w pkt 0 min. lokalne =-1 

 
Zamiana zmiennych: 

1.  

 

 

  

 

   

 

       

   

   

 

     

 

      

 

  

 

 

 

 

2. Za powtarzające się wyrażenie kładziemy nowe zmienne.  
3. Określamy granice. 
4. Wyznaczyć zależność x,y od v i u. 
5. Jakobian to |wyznacznik| pochodne stare po nowych zmiennych. 
6. Do całki wsadzić nowe zmienne i pomnożyć przez Jakobian. 

 

BIEGUNOWE: 

1.  

           

           

   J=r 

2. kółko+płaszczyzna 

 

WALCOWE: 

1.  

           

           

     

  J=r 

2. Wafelek,  

 

SFERYCZNE: 

1.  

                 

               

           

       

 

      

 

 

 

2. 

 

                 

               

           

       

 

      

 

pierścionek, kula+stożek