AM2 wykład 8 2011/12
18.04.2012
23
N
AJWIĘKSZA
,
NAJMNIEJSZA WARTOŚĆ FUNKCJI NA ZADANYM ZBIORZE
Tw (Weierstrassa 1815-1897)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w zbiorze domkniętym i ograniczonym, to istnieją w tym zbiorze punkty, w
których funkcja przyjmuje swoje kresy.
R
D
f
:
,
n
R
D
D
x
x
2
1
,
)
(
inf
)
(
1
x
f
x
f
D
x
,
)
(
sup
)
(
2
x
f
x
f
D
x
.
Tzn. istnieją punkty
D
x
x
2
1
,
, takie że
D
x
dla
x
f
x
f
)
(
)
(
1
D
x
dla
x
f
x
f
)
(
)
(
2
.
Jeżeli w punkcie
1
x
funkcja f osiąga wartość najmniejszą, to
albo
1) punkt
1
x
należy do wnętrza zbioru D i wówczas funkcja f osiąga w punkcie
1
x
ekstremum
lokalne
albo
2) punkt
1
x
jest punktem brzegowym zbioru D.
Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla punktu
2
x
.
Wnioskujemy stąd, że
wartości największą oraz najmniejszą funkcji na zadanym zbiorze poszukujemy wśród punktów, w
których funkcja osiąga ekstrema lokalne lub wśród punktów leżących na brzegu zbioru.
Przykład
Wyznaczyć wartość największą oraz najmniejszą funkcji
2
2
)
,
(
y
x
y
x
f
na domkniętym trójkącie o wierzchołkach
)
1
,
1
(
),
1
,
3
(
),
3
,
1
(
C
B
A
.
E
KSTREMUM WARUNKOWE
Niech
R
D
f
:
,
n
R
D
. Będziemy szukać ekstremów funkcji f na zbiorze
D
M
.
Niech będą dane funkcje n zmiennych określone na zbiorze otwartym D,
n
R
D
R
D
f
:
,
R
D
g
i
:
,
m
i
,
,
2
,
1
n
m
1
.
Określmy zbiór
m
i
x
g
D
x
M
i
,...
2
,
1
,
0
)
(
:
.
Zakładamy, że zbiór M jest niepusty.
D
EF
:
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie
0
x e kstremum warunkowe związane warunkiem M, jeżeli funkcja f
rozważana na zbiorze M (
M
f
) ma w punkcie x
0
ekstremum lokalne.
Przykład
2
2
)
,
(
y
x
y
x
f
,
2
)
,
(
y
x
y
x
g
rozwiązanie analitycznie
x
x
f
x
g
2
,
)
(
AM2 wykład 8 2011/12
18.04.2012
24
M
ETODA MNOŻNIKÓW
L
AGRANGE
’
A
Funkcję
R
D
L
:
określoną wzorem
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
x
g
x
g
x
g
x
f
x
L
m
m
nazywamy funkcją Lagrange’a dla problemu ekstremum warunkowego zadanego funkcjami f oraz
m
g
g
g
,
,
,
2
1
. Stałe
R
i
,
m
i
,
,
2
,
1
nazywamy mnożnikami Lagrange’a.
T
W
warunek konieczny
Zakładamy, że
funkcje
m
g
g
g
f
,
,
,
,
2
1
są klasy
1
C w pewnym otoczeniu punktu
0
x ,
0
)
(
0
x
gradf
,
m
x
x
g
rz
mxn
j
i
)
(
0
lub równoważnie wektory
)
(
,
),
(
),
(
0
0
2
0
1
x
gradg
x
gradg
x
gradg
m
są liniowo
niezależne.
Jeżeli
f ma w
M
x
0
ekstremum lokalne warunkowe, to istnieją liczby
m
,
,
,
2
1
, takie, że
0
)
(
0
x
gradL
.
W
NIOSEK
Ekstremum warunkowego należy poszukiwać wśród punktów, które spełniają układ
m
n
równań
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
1
1
x
g
x
g
x
L
x
L
m
x
x
n
M
x
x
g
x
g
x
gradL
x
L
x
L
m
x
x
n
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
1
1
z
m
n
niewiadomymi
m
n
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
2
1
,
2
1
.
AM2 wykład 8 2011/12
18.04.2012
25
WARUNEK WYSTARCZAJĄCY
T
W WARUNEK WYS TARCZAJĄCY
Jeżeli funkcje
m
g
g
g
f
,
,
,
,
2
1
jest klasy
)
(
2
D
C
,
w punkcie
0
x
spełnione są warunki konieczne
istnienia ekstremum warunkowego oraz
0
)
)(
(
0
2
h
x
L
d
0
)
)(
(
0
2
h
x
L
d
dla
0
h
i takich, że
0
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
0
2
0
2
1
0
1
0
1
2
0
2
1
1
0
1
1
n
n
m
m
m
n
n
h
x
x
g
h
x
x
g
h
x
x
g
h
x
x
g
h
x
x
g
h
x
x
g
***
to w punkcie
0
x
jest lokalne minimum warunkowe funkcji f (
lokalne maksimum warunkowe
).
Wyznaczyć
h spełniające układ
(***) to wyznaczyć jądro przekształcenia liniowego o macierzy
mxn
j
i
x
x
g
)
(
0
.
W
ARUNEK WYKLUCZAJĄCY
Jeżeli różniczka
)
)(
(
0
2
h
x
L
d
przyjmuje wartości dodatnie i ujemne (jest nieokreślona) dla h spełniających warunek ***, to
funkcja f nie ma ekstremum warunkowego w punkcie
0
x
.
ZAD
R
OZWIĄZAĆ METODĄ
L
AGRANGE
’
A
1.Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji
y
x
y
x
f
3
4
6
)
,
(
przy warunku
1
2
2
y
x
.
2. Dodatnią liczbę a przedstawić w postaci sumy 3 dodatnich składników, tak aby ich iloczyn był
jak największy.