Am2  wykład  11,12                                                                                                                              16,23.05.2012 

 

 

Z

AMIANA ZMIENNYCH 

 

 
MACIERZ

 

JACOBIEGO,

 

JAKOBIAN 

Rozważmy funkcje 

n

f

f

f



,

,

2

1

 klasy 

)

(

1

D

C

 

n

R

D



  

 
Funkcję 



























)

(

)

(

)

(

det

)

(

2

1

x

gradf

x

gradf

x

gradf

x

J

n



 

nazywamy jakobianem  przekształcenia określonego  przez funkcje

n

f

f

f



,

,

2

1

. 

 
Przykład 
Para funkcji   

y

x

y

x

f





)

,

(

1

, 

y

x

y

x

f







)

,

(

2

  

przekształca obszar regularny D na płaszczyźnie  0xy ograniczony  liniami   

4

,

1

,

4

,

1





















y

x

y

x

y

x

y

x

 

na kwadrat  





4

1

,

4

1

:

)

,

(











v

u

v

u

K

 

na płaszczyźnie  0uv. 
Odwzorowanie to jest wzajemnie  jednoznaczne,  przy czym odwzorowanie odwrotne realizuje  para 
funkcji 









v

u

y

v

u

x









2

1

,

2

1

 

 

 

2

1

1

1

1

)

,

(

2

2

1

1

2

2

1

1



































y

f

x

f

y

f

x

f

f

f

f

f

y

x

J

y

x

y

x

 

 

Uwaga 
Wartość bezwzględna jakobianu  przekształcenia w punkcie jest w przybliżeniu  równa stosunkowi  pola 
obrazu małego otoczenia punktu  do pola tego otoczenia. 

T

W

.

 

(

O

 

Z

AMIANIE  ZMIENNYC H W  C AŁCE PO DWÓJNEJ

)

 

 
Jeżeli   
1. odwzorowanie 









)

,

(

)

,

(

),

,

(

v

u

v

u

y

v

u

x

 

przekształca  wzajemnie  jednoznacznie  wnętrze  obszaru  regularnego 



 na wnętrze  obszaru 

regularnego  D 
2. funkcje 

)

,

(

),

,

(

v

u

y

y

v

u

x

x





 są klasy  C

1

 na pewnym  zbiorze  otwartym  zawierającym 

zbiór 



 

3. jakobian  J 

v

u

v

u

y

y

x

x

v

u

J











)

,

(

 jest  różny  od zera  wewnątrz  obszaru 



 

4. funkcja  podcałkowa  f jest ciągła  na D 
to 













D

dudv

v

u

J

v

u

y

v

u

x

f

dxdy

y

x

f

)

,

(

)

,

(

),

,

(

)

,

(

. 

Am2  wykład  11,12                                                                                                                              16,23.05.2012 

 

 

Przykład 
1. Współrzędne  biegunowe 
Jeżeli  obszarem  całkowanie  jest koło, wycinek  kołowy,  pierścień,  to często  stosujemy 
zamianę  współrzędnych  kartezjańskich  na współrzędne  biegunowe. 















sin

cos

r

y

r

x

   

0



r

, 

)

2

,

0









 lub 













,

(

 

Jakobian  J przekształcenia  wynosi 

r

r

r

r

r

y

r

y

x

r

x

r

J















































2

2

sin

cos

cos

sin

sin

cos

)

,

(

 

Zatem  wzór  na zamianę  współrzędnych  kartezjańskich  na biegunowe 









D

rdrd

r

r

f

dxdy

y

x

f







)

sin

,

cos

(

)

,

(

 

Z

ASTOSOWANIA FIZYCZNE

 

Masa obszaru  o gęstości  powierzchniowej 

)

,

(

y

x







 





D

dxdy

y

x

m

)

,

(



 

Współrzędne  środka masy  (środek ciężkości) 





D

c

dxdy

y

x

x

m

x

)

,

(

1



, 





D

c

dxdy

y

x

y

m

y

)

,

(

1



 gdzie 





D

dxdy

y

x

m

)

,

(



 

 

Z

AMIANA  ZMIENNYCH  W  CAŁCE  POTRÓJNEJ

 

T

W

.

 

(

O 

Z

AMIANIE  ZMIENNYC H W  C AŁCE POTRÓJNEJ

)

 

 
Jeżeli   
1. odwzorowanie 









)

,

,

(

)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

w

v

u

w

v

u

z

w

v

u

y

w

v

u

x

 

przekształca  wzajemnie  jednoznacznie  wnętrze  obszaru  regularnego 



 na wnętrze  obszaru 

regularnego  V 
2. funkcje 

)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

w

v

u

z

z

w

v

u

y

y

w

v

u

x

x







 są klasy  C

1

 na pewnym  zbiorze  otwartym 

zawierającym  zbiór 



 

3. jakobian   

w

v

u

w

v

u

w

v

u

z

z

z

y

y

y

x

x

x

v

v

u

J





















)

,

,

(

 jest różny  od zera wewnątrz  obszaru 



 

4. funkcja  podcałkowa  f jest ciągła  na V 
to 













V

dudvdw

w

v

u

J

w

v

u

z

w

v

u

y

w

v

u

x

f

dxdydz

z

y

x

f

)

,

,

(

)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

)

,

,

(

.