Wzory 33

WZORY 33: trend nieliniowy (potęgowy i wykładniczy)

Potęgowy model trendu (t = 1,..., n)	Wykładniczy model trendu (t = 1,..., n)
(1)	(2)
Równanie modelu: wzory (33.1)
Yt = β t^α εt	Yt =
Transformacja logarytmiczna równania modelu: wzory (33.2)
ln Yt = ln {β t^α εt}	ln Yt = ln [ ⇔
ln Yt = ln β + ln {t^α} + ln εt	ln Yt =  α t + β + εt
ln Yt = α ln t + ln β + ln εt	ln Yt =  α t + β + εt
Oznaczenia: wzory (33.3)
t^* = ln t
β^* = ln β
Równanie modelu transformowanego logarytmicznie: wzory (33.4)
	.
Założenia modelu transformowanego logarytmicznie: wzory (33.5)
dla t = 1,..., n,  dla t = 1,..., n,  dla s … t,	dla t = 1,..., n,  dla t = 1,..., n,  dla s … t.
Warunek minimalizacyjny metody najmniejszych kwadratów: wzory (33.6)
W => min	W => minUkład równań normalnych: wzory (33.7)
Z rozwiązania układu równań normalnych (33.7) otrzymujemy estymator  współczynnika α: wzory (33.8)
Z rozwiązania układu równań normalnych (33.7) otrzymujemy estymator  β wyrazu wolnego ln β: wzory (33.9)
,
Funkcja trendu liniowego: wzory (33.10)
	.
Funkcja trendu nieliniowego: wzory (33.11)
	.
Realizacja a estymatora  współczynnika α w konkretnej n-elementowej próbie: wzory (33.12)
Realizacja ln b estymatora  β wyrazu wolnego ln β oraz realizacja b estymatora  wyrazu wolnego β w konkretnej n-elementowej próbie: wzory (33.13)
Funkcja trendu liniowego w konkretnej n-elementowej próbie: wzory (33.14)
,	,
Funkcja trendu nieliniowego w konkretnej n-elementowej próbie: wzory (33.15)
Współczynniki determinacji
Współczynnik determinacji  dla transformowanej logarytmicznie, ln Yt, zmiennej zależnej Yt (opisanej modelem potęgowym lub wykładniczym sprowadzonym do modelu liniowego drogą transformacji logarytmicznej): wzory (33.16)
lub
bowiem
Równość wariancyjna w analizie trendu liniowego: wzory (33.17)
gdzie
	.
	.
Współczynnik determinacji  dla wyjściowej, nieliniowej funkcji trendu potęgowego lub wykładniczego: wzory (33.18)
lub
bowiem
Równość wariancyjna w analizie trendu nieliniowego: wzory (33.19)
gdzie
	.
Zakres zmienności współczynnika determinacji : wzory (33.20)
<0;1>	<0;1>
Zakres zmienności współczynnika determinacji : wzory (33.21)
<0;1>	<0;1>
Współczynniki determinacji w konkretnej n-elementowej próbie
Współczynnik determinacji r^2 dla transformowanych logarytmicznie, ln yt, wartości zmiennej zależnej yt (opisanej potęgową lub wykładniczą funkcją trendu sprowadzoną do liniowej poprzez transformację logarytmiczną): wzory (33.22)
lub
bowiem
Równość wariancyjna w analizie trendu liniowego oparta na wynikach konkretnej n-elementowej próby: wzory (33.23)
gdzie
Współczynnik determinacji  dla wyjściowej, nieliniowej funkcji trendu potęgowego lub wykładniczego: wzory (33.24)
lub
	bowiem
Równość wariancyjna w analizie trendu nieliniowego oparta na wynikach konkretnej n-elementowej próby: wzory (33.25)
gdzie
	.
Zakres zmienności współczynnika determinacji r^2: wzory (33.26)
r^2 0 <0;1>	r^2 0 <0;1>
Zakres zmienności współczynnika determinacji : wzory (33.27)
należy do zbioru <0;1>	należy do zbioru <0;1>
Indeksy łańcuchowe (t = 2, 3, ..., n): wzory (33.28)
	.
gdzie
Średnia geometryczna z indeksów łańcuchowych (t = 2, 3,..., n): wzory (33.29)
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---