Wzory 23

WZORY 23: relacja między kwadratem wskaźnika korelacyjnego a kwadratem współczynnika korelacji liniowej w dwuwymiarowym rozkładzie normalnym

Łatwo można wykazać, że w dwuwymiarowym rozkładzie normalnym zmiennej losowej (X, Y) prawdziwa jest relacja:

(23.1) .

Jak wykazano w literaturze przedmiotu (por. M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969, s. 172) rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy założeniu X = x jest rozkładem normalnym o wartości oczekiwanej E(Y/X = x) = m2(x):

(23.2) E(Y/X = x) = m2(x) = m2 +  (x - m1).

I analogicznie rozkład warunkowy zmiennej losowej X przy założeniu Y = y jest rozkładem normalnym o wartości oczekiwanej E(X/Y = y) = m1(y):

(23.3) E(X/Y = y) = m1(y) = m1 +  (y - m2),

gdzie

m1 = E(X),           m2 = E(Y),           = D^2(X),            = D^2(Y),

, cov(X, Y) =  [x - E(X)] [y - E(Y)] f(x, y) dxdy

Jak łatwo zauważyć, wartości oczekiwane warunkowe (23.2) i (23.3) są liniowymi funkcjami współczynnika korelacji .

Zatem

E[m2(x) - E(Y)]^2 = E[m2 +  (x - m1) - m2⇔^2 =  E[x - m1⇔^2 = ,

Stąd

E[m2(x) - E(Y)]^2 = .

W dwuwymiarowym rozkładzie normalnym mamy:

E[Y - E(Y)]^2 = D^2(Y) = .

Otrzymane wyniki podstawiamy do wzoru wskaźnika korelacyjnego:

(23.4) .

Wykazaliśmy zatem, że w dwuwymiarowym rozkładzie normalnym łącznej zmiennej losowej (X, Y) prawdziwa jest relacja (23.1), a zatem i relacja (23.5):

(23.5) .

Wskaźnik korelacyjny i współczynnik korelacji liniowej powiązane są, w rozkładach innych niż dwuwymiarowy normalny, następującymi zależnościami:

(23.6) ,

dla cov(X, Y) … 0, czyli dla .

(23.7) ,

dla E[m2(xi) - E(Y)]^2 … 0, czyli dla .

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręcznika M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969, s. 172.

---