Wzory 31

WZORY 31: hipoteza dotycząca nieskorelowania (pierwszego rzędu) składników losowych modelu

Analiza regresji: próba przekrojowa	Analiza regresji: szereg czasowy	Trend liniowy
(1)	(2)	(3)
Równanie modelu: wzory (31.1)
Yi=E(Y/X=xi)=αxi+β+εi, i = 1,..., n,	Yt=E(Y/X=xt)=αxt+β+εt, t = 1,..., n,	Yt=E(Y/t)=αt+β+εt, t = 1,..., n,
Założenia modelu: wzory (31.2)
1)   E(εi) = 0, 2)   D^2(εi) = E = σ^2, 4)   εi: rozkład N(0, σ),	1)   E(εt) = 0, 2)   D^2(εt) = E = σ^2, 4)   εt: rozkład N(0, σ),	1)   E(εt) = 0, 2)   D^2(εt) = E = σ^2, 4)   εt: rozkład N(0, σ),
Założenie 3)
3)   cov(εi, εj) = E(εiεj) = 0, dla i … j, dla i,j = 1,..., n,	3)   cov(εt, εs) = E(εtεs) = 0, dla s … t, dla s,t = 1,..., n,	3)   cov(εt, εs) = E(εtεs) = 0, dla s … t, dla s,t = 1,..., n,
jest równoważne założeniu, że współczynniki korelacji liniowej (autokorelacji) między składnikami losowymi danego modelu wynoszą zero. Najprostszym przypadkiem autokorelacji składników losowych modelu jest autokorelacja rzędu pierwszego.
Współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego mierzy zależność między składnikami losowymi odległymi o jednostkę, czyli
j = i - 1 dla i = 1,..., n	s = t - 1 dla t = 1,..., n,	s = t - 1 dla t = 1,..., n,
Współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego między skadnikami losowymi odległymi o jednostkę: wzór (31.3)
Brak autokorelacji rzędu pierwszego między składnikami losowymi modelu oznacza, że współczynnik autokorelacji (31.3) wynosi zero:
		Estymatory współczynników autokorelacji (31.3) [parametrów  i ]: wzory (31.4)
Realizacje estymatorów (31.4) w n-elementowej próbie: wzory (31.5)
gdzie
, dla i = 1,..., n,	, dla t = 1,..., n,	. dla t = 1,..., n.
, dla i = 1,..., n,	, dla t = 1,..., n,	. dla t = 1,..., n.
, dla i = 1,..., n,	, dla t = 1,..., n,	. dla t = 1,..., n.
, dla i = 1,..., n,	, dla t = 1,..., n,	. dla t = 1,..., n.
Hipoteza sprawdzana: wzory (31.6)
x0: ρ(εi, εi-1) = 0,	x0: ρ(εt, εt-1) = 0,	x0: ρ(εt, εt-1) = 0
Hipoteza alternatywna: wzory (31.7)
x1: ρ(εi, εi-1) … 0,	x1: ρ(εt, εt-1) … 0,	x1: ρ(εt, εt-1) … 0
lub
x1: ρ(εi, εi-1) < 0, x1: ρ(εi, εi-1) > 0,	x1: ρ(εt, εt-1) < 0, x1: ρ(εt, εt-1) > 0,	x1: ρ(εt, εt-1) < 0, x1: ρ(εt, εt-1) > 0,
Narzędzie weryfikacji hipotezy sprawdzanej - statystyka d Durbina-Watsona: wzory (31.8)
Realizacja dobl zmiennej losowej d w n-elementowej próbie: wzory (31.9)
gdzie
, ei, ,  dla i = 1,..., n jak wyżej	, et, ,  dla t = 1,..., n jak wyżej	, et, ,  dla t = 1,..., n jak wyżej
Wzory przybliżone statystyki d Durbina-Watsona: wzory (31.10)
Wzory przybliżone realizacji dobl zmiennej losowej d w n-elementowej próbie: wzory (31.11)
Realizacja dobl statystyki d w n-elementowej próbie może przyjmować wartości z przedziału liczbowego <0;4>,
bowiem
,	,	,
jako współczynniki korelacji liniowej, przyjmują wartości z przedziału liczbowego <-1;1>.
Rozkład statystyki d jest stablicowany.
Przy przyjętym poziomie istotności, ustalonej liczbie obserwacji n i ustalonej liczbie niezależnych zmiennych m (w rozważanych modelach liniowej regresji oraz trendu m = 1) możemy odczytać wartości statystyki d, oznaczone jako d1 i d2, które wyznaczają obszar odrzuceń hipotezy sprawdzanej x0: ρ = 0 wobec hipotezy alternatywnej x1: ρ > 0.

Prawostronną hipotezę x1 tylko wtedy jest sensowne sformułować, jeżeli obliczona z próby wartość statystyki dobl należy do zbioru <0;2> czyli   należy do zbioru <0;1>.

Wówczas

a)   odrzucamy hipotezę sprawdzaną dla dobl < d1, b)   nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej dla dobl > d2, c)   nie podejmujemy żadnej decyzji dla d1 < dobl < d2,

Jeżeli formułujemy hipotezę x0: ρ = 0 wobec x1: ρ < 0, to znaczy, że obliczona z próby wartość statystyki dobl była większa od 2, czyli dobl należy do zbioru <2;4> a   należy do zbioru <-1;0>.

Przy lewostronnej hipotezie x1 nie wystarczy odczytać z tablicy rozkładu statystyki d wartości d1 oraz d2, a należy obliczyć 4 - d1 oraz 4 - d2, które to wartości wyznaczają obszary odrzuceń hipotezy sprawdzanej.

Wówczas

a)   odrzucamy hipotezę sprawdzaną dla dobl > 4 - d1, b)   nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej dla dobl < 4 - d2, c)   nie podejmujemy żadnej decyzji dla 4 - d2 < dobl < 4 - d1,

Jeżeli formułujemy hipotezę x0: ρ = 0 wobec dwustronnej hipotezy x1: ρ … 0, to znaczy, że obszar odrzuceń hipotezy sprawdzanej podajemy na podstawie odczytanych z tablic rozkładu statystyki d wartości d1 i d2 oraz obliczonych wartości 4 - d1 i 4 - d2.

Wówczas

a)   odrzucamy hipotezę sprawdzaną dla dobl < d1 lub dobl > 4 - d1, b)   nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej dla dobl > d2 i dobl < 4 - d2, c)   nie podejmujemy żadnej decyzji dla d1 < dobl < d2 lub 4 - d2 < dobl < 4 - d1.

Konsekwencje wyników weryfikacji hipotezy x0: ρ = 0

Jeżeli, przy dowolnie sformułowanej hipotezie alternatywnej, odrzucamy hipotezę zerową mówiącą o nieskorelowaniu (pierwszego rzędu) składników losowych, to oszacowany model traktujemy jako ułomne narzędzie opisu i prognozy, bowiem wymaga on poprawy polegającej, najczęściej, na powtórnej estymacji parametrów modelu lub innej specyfikacji zmiennych, czy też postaci funkcyjnej równania modelu.

Jeżeli, przy dowolnie sformułowanej hipotezie alternatywnej, brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej o nieskorelowaniu (pierwszego rzędu) składników losowych, to oszacowany model uznajemy za dobre narzędzie opisu i prognozy.

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---