Wzory 14

WZORY 14: hipoteza nieparametryczna o zgodności rozkładu z rozkładem określonym dystrybuantą F₀(x): test zgodności chi-kwadrat

W hipotezie sprawdzanej x0 formułowane jest przypuszczenie dotyczące rozkładu zmiennej losowej X scharakteryzowanego dystrubuantą F0(x). Hipoteza alternatywna x1 jest zaprzeczeniem hipotezy sprawdzanej x0 .

(14.1)   x0 : F(x) = F0(x), (gdzie F0(x) jest dystrybuantą określonego rozkładu, na przykład rozkładu normalnego. (14.2)   x1 : F(x) … F0(x),

Jeśli F0(x) jest dystrybuantą rozkładu normalnego, to znaczy, że X jest zmienną losową typu ciągłego, przyjmującą wartości z przedziału liczbowego (-∞, +∞). Parametr m - wartość oczekiwana i parametr σ - odchylenie standardowe jednoznacznie określają rozkład normalny. Zapisujemy to najkrócej jako X : N[m, σ].

Parametry m i σ mogą być znane (np. z innych badań (wcześniejszych, pilotażowych) lub jako parametry techniczne pewnego procesu).

Najczęściej parametry m i σ nie są znane. W teście zgodności chi-kwadrat jest wymagane, aby parametry m i σ^2 szacować metodą największej wiarogodności (MNW).

Estymator  MNW parametru m: wzór (14.3)

(14.3) , i = 1,..., n.

Realizacja  estymatora  MNW parametru m w konkretnej (x1, x2,..., xn) n-elementowej próbie: wzór (14.4)

(14.4) , i = j, j = 1,..., n.

Estymator S^2 MNW parametru σ^2: wzór (14.5)

(14.5) , i = 1,..., n, .

Realizacja s^2 estymatora S^2 MNW parametru σ^2 w konkretnej (x1, x2,..., xn) n-elementowej próbie: wzór (14.6)

(14.6) , i = j, j = 1,..., n, .

Narzędzie weryfikacji hipotezy sprawdzanej x0, to statystyka χ^2 która, przy założeniu prawdziwości hipotezy sprawdzanej x0 ma asymptotyczny rozkład chi-kwadrat określony przez v = k - 1 - r stopni swobody: wzór (14.7)

(14.7)  lub ,

gdzie

i - numer przedziału klasowego, i = 1,..., k,

k n    liczba przedziałów klasowych spełniających warunki: pierwszy przedział klasowy jest lewostronnie otwarty, czyli (-∞, x11>, przedział drugi i następne aż do przedostatniego są następujące: (x0i, x1i>, i = 2,3,... k - 1, ostatni przedział klasowy jest prawostronnie otwarty, czyli (x0k, +∞), npi ≥ 5 ( ≥ 5) dla każdego i = 1,..., k (przedziały klasowe nie spełniające tego warunku są agregowane, czyli łączone z sąsiednimi),

r - liczba parametrów rozkładu szacowanych MNW,

ni n   liczebność przedziału klasowego o numerze i, , i = 1,..., k,

pi n   prawdopodobieństwo przyjmowania przez zmienną losową o rozkładzie określonym dystrybuantą F0(x) wartości z przedziału klasowego o numerze i, , i = 1,..., k.

= npi n      liczebność teoretyczna przedziału o numerze i, czyli taka liczebność, jaka powinna wystąpić w n-elementowej próbie w przedziale o numerze i gdyby hipoteza sprawdzana x0 była prawdziwa, a , i = 1,..., k.

Prawdopodobieństwa pi przyjmowania przez zmienną losową X o rozkładzie normalnym, określonym parametrami m i σ, gdy parametry m i σ są znane, wartości liczbowych z przedziału klasowego o numerze i, gdzie i = 1,..., k: wzory (14.8)

pi=1 = P(X ≤ x11) = P = P(U ≤ u11) = F(u11)

pi = P(x0i < X ≤ x1i) = P = P(u0i < U ≤ u1i)= F(u1i) - F(u0i), i = 2,3,..., k - 1,

pi=k = P(X > x0k) = 1 - P(X ≤ x0k) = 1 - P = 1 - P(U ≤ u0k) = 1 - F(u0k).

Prawdopodobieństwa pi przyjmowania przez zmienną losową X o rozkładzie normalnym, określonym parametrami m i σ, które nie są znane, a zostały oszacowane MNW, wartości liczbowych z przedziału klasowego o numerze i, gdzie i = 1,..., k: wzory (14.9)

pi=1 = P(X ≤ x11) = P = P(U ≤ u11) = F(u11)

pi = P(x0i < X ≤ x1i) = P = P(u0i < U ≤ u1i)= F(u1i) - F(u0i), i = 2,3,..., k - 1,

pi=k = P(X > x0k) = 1 - P(X ≤ x0k) = 1 - P = 1 - P(U ≤ u0k) = 1 - F(u0k).

Zbiorem wartości krytycznych w teście zgodności jest zbiór , gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat przyjętym poziomie istotności α oraz ustalonej liczbie stopni swobody v tak, aby . Liczba stopni swobody wynosi v = k - 1 - r, gdzie r jest liczbą parametrów rozkładu oszacowanych na podstawie wyników losowej próby z wykorzystaniem estymatorów metody największej wiarogodności (MNW).

Jeżeli obliczona wartość statystyki χ^2 znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, czyli przekroczy wartość  to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = k - 1 - r, odrzucamy hipotezę sprawdzaną mówiącą o zgodności rozkładu z rozkładem (na przykład normalnym) wyspecyfikowanym w hipotezie sprawdzanej na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że rozkład jest inny niż wyspecyfikowany w hipotezie sprawdzanej.

Jeżeli obliczona wartość statystyki χ^2 nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, czyli nie przekroczy wartości  to, przyjętym poziomie istotności α i ustalonej liczbie stopni swobody v = k - 1 - r, nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej mówiącej o zgodności rozkładu z rozkładem wyspecyfikowanym (na przykład normalnym).

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---