Wzory 26

WZORY 26: hipoteza dotycząca braku wpływu zmiennej niezależnej X na zmienną zależną Y

Podstawową miarą siły wpływu niezależnej zmiennej losowej X na zależną zmienną losową Y jest wskaźnik korelacyjny ηYX, którego kwadrat dany jest następującym wzorem:

= E[m2(x) - E(Y)]^2/D^2(Y),

gdzie:  m2(x) = E(Y/X = xi), dla i = 1,..., k, E[Y - E(Y)]^2 = D^2(Y), oraz     D^2(Y) = E[m2(x) - E(Y)]^2 + E[Y - m2(x)]^2.

Wtedy i tylko wtedy  = 0 [czyli ηYX = 0], gdy

E1(Y) = E2(Y) = ,..., = Ek(Y) = E(Y),

czyli: m2(x) = E(Y/X = xi) = E(Y) dla każdego i = 1,..., k,

Brak wpływu zmiennej losowej X na zmienną losową Y oznacza, iż wskaźnik korelacyjny przyjmuje wartość zero. Hipotezę dotyczącą braku wpływu i jej alternatywę zapisuje się zatem jako:

x0: ηYX = 0 lub    x0: E1(Y) = E2(Y) = ,..., = Ek(Y) = E(Y) x1: ηYX > 0 lub    x1: Ei(Y) … Ej(Y) dla i, j = 1,..., k, i … j.

Narzędziem weryfikacji hipotezy sprawdzanej x0 jest statystyka F dana wzorem (26.1):

(26.1) ,

gdzie: (26.2) .

Statystykę F daną wzorem (26.1) można przedstawić, podstawiając wskaźnik korelacyjny (26.2), w następującej równoważnej postaci:

.

zatem

(26.3)

SSB, SSE i SST są składnikami równości wariancyjnej: wzór (26.4)

SST = SSB + SSE

gdzie

Dane indywidualne (dane jednostkowe)	Tablica korelacyjna: rozkłady punktowe	Tablica korelacyjna: rozkłady przedziałowe
(xi, yj) i = 1,..., k j = 1,..., ni	(xi, yj) i = 1,..., k j = 1,..., l	i = 1,..., k j = 1,..., l
(1)	(2)	(3)
Zróżnicowanie ogólne SST: wzory (26.5)
dla
Zróżnicowanie międzygrupowe SSB: wzory (26.6)
dla
Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSE: wzory (26.7)
dla
Statystyka F ma rozkład F-Snedecora określony przez v1 = k - 1 oraz v2 = n - k stopni swobody.
Zbiorem wartości krytycznych w teście F jest zbiór K dany jako: K = {F : F należy do zbioru }, gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu F-Snedecora przyjętym poziomie istotności α oraz ustalonej liczbie stopni swobody, która wynosi v1 = k - 1 oraz v2 = n - k.
Jeżeli obliczona podstawie wyników n-elementowej losowej próby statystyka F przyjmuje wartość należącą do zbioru K, to przy poziomie istotności α oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody odrzucamy hipotezę badaną mówiącą, że wartości oczekiwane warunkowe są jednakowe, czyli że zmienna losowa X nie wywiera wpływu na zmienną losową Y lub też iż czynnik X nie różnicuje wartości zmiennej losowej Y na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że wartości oczekiwane warunkowe są różne, czyli że zmienna losowa X ma wpływ na zmienną losową Y lub też iż czynnik X różnicuje wartości zmiennej losowej Y.
Jeżeli obliczona podstawie wyników n-elementowej losowej próby statystyka F przyjmie wartość nie należącą do zbioru K, to przyjętym poziomie istotności α oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy badanej mówiącej, że wartości oczekiwane warunkowe są jednakowe, czyli że zmienna losowa X nie wpływa na zmienną losową Y lub też iż czynnik X nie różnicuje wartości zmiennej losowej Y.
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---