Wzory 27

WZORY 27: hipoteza dotycząca braku wpływu zmiennej niezależnej Y na zmienną zależną X

Podstawową miarą siły wpływu niezależnej zmiennej losowej Y na zależną zmienną losową X jest wskaźnik korelacyjny ηXY, którego kwadrat dany jest następującym wzorem:

= E[m1(y) - E(X)]^2/D^2(X),

gdzie:  m1(y) = E(X/Y = yj), dla j = 1,..., l, E[X - E(X)]^2 = D^2(X), oraz     D^2(X) = E[m1(y) - E(X)]^2 + E[X - m1(y)]^2.

Wtedy i tylko wtedy  = 0 [czyli ηXY = 0], gdy

E1(X) = E2(X) = ,..., = El(X) = E(X).

Czyli: m1(y) = E(X/Y = yj) = E(Y) dla każdego j = 1,..., l,

Brak wpływu zmiennej losowej Y na zmienną losową X oznacza, iż wskaźnik korelacyjny przyjmuje wartość zero. Hipotezę dotyczącą braku wpływu i hipotezę alternatywną zapisuje się zatem jako:

x0: ηXY = 0 lub    x0: E1(X) = E2(X) = ,..., = Ek(X) = E(X) x1: ηXY > 0 lub    x1: Ei(X) … Ej(X) dla i, j = 1,..., k, i … j.

Narzędziem weryfikacji hipotezy sprawdzanej x0 jest statystyka F dana wzorem (27.1):

(27.1) ,

gdzie: (27.2)

Statystykę F daną wzorem (27.1) można przedstawić, podstawiając wskaźnik korelacyjny (27.2), w następującej równoważnej postaci:

zatem

(27.3)

SSBx, SSEx i SSTx są składnikami równości wariancyjnej: wzór (27.4)

SSTx = SSBx + SSEx

gdzie

Dane indywidualne (dane jednostkowe)	Tablica korelacyjna: rozkłady punktowe	Tablica korelacyjna: rozkłady przedziałowe
(xi, yj) i = 1,..., nj j = 1,..., l	(xi, yj) i = 1,..., k j = 1,..., l	i = 1,..., k j = 1,..., l
(1)	(2)	(3)
Zróżnicowanie ogólne SSTx: wzory (27.5)
gdzie
Zróżnicowanie międzygrupowe SSBx: wzory (27.6)
gdzie
Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSEx: wzory (27.7)
gdzie
Statystyka F ma rozkład F-Snedecora określony przez v1 = l - 1 oraz v2 = n - l stopni swobody.
Zbiorem wartości krytycznych w teście F jest zbiór K dany jako: K = {F : F  należy do zbioru należy do zbioru   }, gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu F-Snedecora przyjętym poziomie istotności α oraz ustalonej liczbie stopni swobody v1 i v2.
Jeżeli obliczona podstawie wyników n-elementowej losowej próby statystyka F przyjmuje wartość należącą do zbioru K, to przy poziomie istotności α oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody odrzucamy hipotezę badaną mówiącą, że wartości oczekiwane warunkowe są jednakowe, czyli że zmienna losowa Y nie wywiera wpływu na zmienną losową X lub też iż czynnik Y nie różnicuje wartości zmiennej losowej X na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że wartości oczekiwane warunkowe są różne, czyli że zmienna losowa Y ma wpływ na zmienną losową X lub też iż czynnik Y różnicuje wartości zmiennej losowej X.
Jeżeli obliczona podstawie wyników losowej próby statystyka F przyjmie wartość nie należącą do zbioru K, to przyjętym poziomie istotności α oraz przy ustalonej liczbie stopni swobody nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy badanej mówiącej, że wartości oczekiwane warunkowe są jednakowe, czyli że zmienna losowa Y nie wpływa na zmienną losową X lub też iż czynnik Y nie różnicuje wartości zmiennej losowej X.
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---