Wzory 28

WZORY 28: analiza regresji

Analiza regresji: (1) próba przekrojowa, obserwacje indywidualne dotyczące ustalonych wartości xi zmiennej losowej X i zmiennej losowej Y: (xi, Yi), gdzie i = 1,..., n,

Analiza regresji: (2) próba przekrojowa, obserwacje indywidualne dotyczące zmiennej losowej X i ustalonych wartości yi zmiennej losowej Y: (Xi, yi), gdzie i = 1,..., n.

Regresja zmiennej zależnej Y względem zmiennej niezależnej X	Regresja zmiennej zależnej X względem zmiennej niezależnej Y
(1)	(2)
Równanie liniowego modelu regresji: wzory (28.1)
i = 1,..., n,	i = 1,..., n,
Założenia liniowego modelu regresji: wzory (28.2)
1)   , 2)   , 3)   , dla i … j, 4)   εi: rozkład N(0, σy),	1)   , 2)   , 3)   , dla i … j, 4)   : rozkład N(0, σx),
Z założeń modelu określonych wzorami (28.2) wynika, że losowa zmienna zależna ma rozkład:
dla X = xi, N[αy xi + βy; σy⇔	dla Y = yi, N[αx yi + βx; σx⇔
bowiem
E(Yi)=E(αyxi + βy + εi)=αyxi + βy + E(εi) = = αyxi + βy	E(Xi)=E(αxyi + βx + ξi)=αxyi + βx+E(ξi)= = αxyi + βx
D^2(Yi) = E[Yi - E(Yi)]^2 = E[Yi - (αy xi + βy)]^2 = E( ) =	D^2(Xi) = E[Xi - E(Xi)]^2 = E[Xi - (αx yi + βx)]^2 = E( ) =
Warunek minimalizacyjny metody najmniejszych kwadratów: wzory (28.3)
	Układ równań normalnych: wzory (28.4)
Z rozwiązania układu równań normalnych (28.4) otrzymujemy estymator  współczynnika regresji liniowej α: wzory (28.5)
lub
gdzie
	,
Z rozwiązania układu równań normalnych (28.4) otrzymujemy estymator  wyrazu wolnego β: wzory (28.6)
lub
dla i = 1,..., n,	dla i = 1,..., n,
Funkcja regresji liniowej: wzory (28.7)
, dla i = 1,..., n,	, dla i = 1,..., n,
Reszty: wzory (28.8)
, dla i = 1,..., n,	, dla i = 1,..., n,
Wariancja reszt i odchylenie standardowe reszt: wzory (28.9)
Standardowy błąd oceny współczynnika regresji: wzory (28.10)
,	,
lub
,	,
,	,
Standardowy błąd oceny wyrazu wolnego: wzory (28.11)
,	,
lub
,	,
,	,
Równość wariancyjna w analizie regresji: wzory (28.12)
Współczynnik determinacji : wzory (28.13)
	lub
Prognoza pojedynczej wartości zmiennej zależnej: wzory (28.14)
Estymator prognozy pojedynczej wartości zmiennej zależnej: wzory  (28.15)
,	,
Standardowy błąd prognozy pojedynczej wartości: wzory (28.16)
lub
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---