Wzory 25

WZORY 25: hipoteza dotycząca nieskorelowania dwóch zmiennych losowych (mierzalnych)

Nieskorelowanie (liniowe) zmiennych losowych X i Y zachodzi, gdy wspólna wariancja zmiennych nazywana kowariancją zmiennych X i Y {oznaczenie: cov(XY)} wynosi zero z czego wynika, że współczynnik korelacji liniowej ρ wynosi zero:

x0: ρ = 0,     gdzie (25.1)     (por. wzory 22) a)   x1: ρ … 0 lub b)   x1: ρ > 0, lub też c)   x1: ρ < 0.

W hipotezie a) x1: ρ … 0 sformułowaliśmy przypuszczenie, alternatywne do sprawdzanego, że zmienne losowe X i Y są skorelowane (liniowo, ujemnie lub dodatnio).

Hipotezę alternatywną możemy także zapisać jako b) x1: ρ > 0  co oznacza przypuszczenie, że zmienne losowe X i Y są skorelowane liniowo, dodatnio.

Zapis c) x1: ρ < 0 oznacza przypuszczenie, że zmienne losowe X i Y są skorelowane liniowo, ujemnie.

Narzędziem weryfikacji hipotezy mówiącej, że zmienne losowe X i Y są nieskorelowane (liniowo) jest statystyka t, która, przy założeniu prawdziwości hipotezy sprawdzanej x0, ma rozkład t-Studenta określony przez n-2 stopni swobody:

(25.2) ,

gdy

lub ,

jest estymatorem parametru ρ, a r jest realizacją estymatora  w n-elementowej próbie losowej prostej.

Statystyka t (25.2) obliczona podstawie wyników n-elementowej próby oraz przy założeniu, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą przyjmuje wartość (25.2^*).

(25.2^*) ,

gdzie

Dane indywidualne (dane jednostkowe)	Tablica korelacyjna: rozkłady punktowe	Tablica korelacyjna: rozkłady przedziałowe
(xi, yi) i = 1,..., n	(xi, yi) i = 1,..., k j = 1,..., l	i = 1,..., k j = 1,..., l
(1)	(2)	(3)
Współczynnik korelacji liniowej r: wzory (25.3)
oraz gdzie
Kowariancja cxy cechy X i cechy Y: wzory (25.4)
Średnia arytmetyczna  cechy X: wzory (25.5)
Średnia arytmetyczna  cechy Y: wzory (25.6)
		Wariancja  cechy X: wzory (25.7)
Odchylenie standardowe sx cechy X: wzory (25.8)
Wariancja  cechy Y: wzory (25.9)
Odchylenie standardowe sy cechy Y: wzory (25.10)

Zbiory wartości krytycznych testu, przy przyjętym poziomie istotności γ (gamma) oraz v = n - 2 stopniach swobody, wyznaczają następujące prawdopodobieństwa:
a)	b)	c)
,	,	,
W zależności od sposobu sformułowania hipotezy alternatywnej x1 zbiory wartości krytycznych są wyznaczone przez następujące relacje:
a)   jeżeli x1: ρ … 0, to tobl ≤ - tγ,n-2 lub tobl ≥ tγ,n-2, b)   jeżeli x1: ρ > 0, to tobl ≥ t2γ,n-2, c)   jeżeli x1: ρ < 0, to tobl ≤ - t2γ,n-2,
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---