Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
i = 1
,
1 0,25 −1 - stopa kwartalna
100000 1
( + i)40 − Xs
= 60000 → X wyliczamy
40; i
OD( I ) = 40 X − 40000
j = 08
,
1
0,25 −1
40
é
60000
å
ù
j 60000 − ( k − ) 1
ê
ú
ë
û
1
=
40
OD( )
2 = k
g
z
bo
ory pl
acimy
08
,
1
25
OD( I ) + OD(2) ≈ 104102
Zadanie 2
TEORIA:
Met. Kapitałowa: wpłaty: 100000-20000-50000+150000=180000
Zysk=I=22844,2029*13-180000=116974,6377
2
I = i ⋅100000 − 20000 ⋅ 75
,
0
i − 50000 ⋅ ⋅ i + 150000 ⋅ 5
,
0 i → i wylicza y m
1
3
Metoda (time-weighted):
10000 ⋅
5
,
11
1 + j
=
0,25
100000
20000
1
( 0000 −
) ⋅12
11 5
,
1 + j =
1
10000 ⋅11 5
, − 20000
3
æ
20000
50000 ö
ç10000 −
−
÷ ⋅8
è
11 5
,
12
ø
1 + j
=
0,5
æ
20000 ö
ç10000 −
÷ ⋅12 − 50000
è
11 5
,
ø
,
22844 2029 ⋅13
1 + j =
1
æ
20000
50000 ö
ç10000 −
−
÷ ⋅8 +150000
è
5
,
11
12
ø
1
( + i ) = 1
( + j
) 1
( + j ) 1
( + j ) 1
( + j ) = 3
,
1 → i = 3
,
0
2
0,25
1
0,5
1
2
3
ODP = i − i ≈ 62 %
3
,
1
2
Zadanie 3
Odsetki zapłacone: jk
1
−
−2
1
n
n
X 1
( + i)
+ X 1
( + i)
+ ... + X = 1 → tyl ew f undusz → X =
sn
Ia
1. X ( s − kX
;
1
−
=
k )
( ) k i
sn
(
&
& −
Is) =
1
( + ) =
n
( Ia)
s
n
i n
n
n
i
2.
(
&
&
− ( − )
1
−
Is)
s
k
s
k
k −1
k
−1 =
=
k
i
i
Z 1 i 2 wynika:
i( Is) k− i;1
sn
Z tego odpowiedź A.
Zadanie 4
ODP = a∞ + 2 va∞ + 3 2
v a∞ + ... = a 1
(
∞
+ 2 v + 3 2
v + ...)
I = 1 + v
2 + v
3 2 + ...
Iv = v + v
2 2 + v
3 3 + ...
a
2
∞ + 1
I 1
( − v) = 1 + v + v + ... = a∞ + 1 → I = 1− v v
+1
a + 1
v
1 −
ODP =
∞
v
v
a∞
=
=
≈ 8820
1 − v
1 − v 1 − v
1
( − v)3
Zadanie 5
Po przekształceniach:
( m + )
1 2 2
i + (2 2
m + 5 m − )
2
2
i + m + 3 m + 1 = 0
.
1 m ≠ − b
1
o wtedy l
iniowe
∆ > 0 → ∆ = -15m2 − 40 m
æ 8 ö
m ∈ ç −
0
; ÷ \ {− }
1
è 3 ø
− 2(2 2
m + 5 m − 2)
−16 − 2 71
2 71 −16
i + i =
< 5
,
1 → ∆ = 4 ⋅ 71 → i =
, i =
1
2
2
1
2
2( m + )
1
14
14
æ
ö
8 −16 − 2 71
z tych dwóch wynika, Ŝe: m ∈ çç− ;
÷÷
è 3
14
ø
Widać, Ŝe nic nie pasuje i dalej nie trzeba ...
Zadanie 6
r = 2
1
r = 2
r ,..., r
= 26
2
29
39
...
r
= 26
40
...
r = 24
41
r = 38
...
19
r ,..., r = 38
...
20
26
r = 34
r = 4
27
51
r = 30
28
2 v + 4 v 2 + ... + 3 v 19
8
+ 3 (
8 v 20 + ... + v 26 ) + 34 v 27 + 30 v 28 + 26( v 29 + ... + v 39 ) + 26 v 40 + 24 v 41 + .. + 4 v 51 =
= 2 Ia + 3 v 19
8
a + 34 v 27 + 30 v 28 + 26 v 28 a + v 39 28
2
19
7
11
[ a − Ia
12
12 ] = N
N =
N
8 %
0 B → B =
≈ 213 8
, 1
8
,
0
Zadanie 7
ì
æ 1 ö7
ï150000 = R a
R a
1
+ ç
÷
ï
7;0,05
è ,
1 05 ø
1
7;0 1
,
ïï
æ 1 ö4
í D )
3
(
= R a
R a
1
+ ç
÷
ï
4;0,05
è ,
1 05 ø
1
7;0 1
,
ï D )
3
(
+ 75000 =
ï
R a
2
20;0 1
, 5
ïî
150000
R =
1
7
æ 1 ö
a
+ ç
÷ a
7;0,05
7;0 1
,
è 0
,
1 5 ø
4
æ
ö
æ 1
ç
ö
÷
R a
+ ç
÷ a
+ 75000
1
4;0,05
ç
è 0
,
1 5
7;0 1
, ÷
è
ø
ø
R =
≈ 31553
2
a 20;0 1,5
Zadanie 8
(i)
NIE bo:
2 ∂
L = i
[1(+ i −1) + 1(+ i −2) +...+ 1(+ i − n)]= i 2[− v 2 − v 3
2
− ... − nvn+1]= − vIa i 2 =
i
n
∂
æ
1
1
ö
n
n
= v ç −
+ v÷ ≠ P
è i 2
i 2 v n
i ø
(ii)
NIE bo:
∂
L =
[1(+ i)− k + 1(+ i)−2 k +..].= − k[ k 1+
v
+ 2 2 k 1+
v
+ .. ].
∂ i
k 1
+
2 k 1
I = v
+ 2 v + + ...
k
2 k 1
+
3 k 1
Iv = v
+ 2 v + + ...
k 1
+
k 1
+
+
v
v +
k
k 1
2 k 1
I 1
( − v ) = v
+ v
+ ... =
→ I =
k
k
2
1 − v
1
( − v )
k
k
k
k +
k +
L = − k (
[
1
2
1
k
v
− k − v v v
− kv
1 + i) − ]
1
(
)
1
=
=
< 0
1
( − k
v )2
1
( − k
v )2
1 − k
v
k
P =
v
kv
k 1
( + i) k 1
−
=
>
0 c
zyl
i NIE
1 − k
v
1 − k
v
(iii)
TAK bo:
∂ ì1
2
tδ ü
P =
í e ý = etδ =
x
x
x
P b
o e = 1 +
+
+ ...
∂ t îδ
þ
!
1
!
2
Zadanie 9
1
( 20 − 9 )
5
p
= 0
,
9 9 → p = 3
,
0 9996
1
,
1
2
p ⋅ 49 + 2 p 1
( − p)
ODP :
≈ 8
,
6 7
1
,
1 2
Zadanie 10
t
e = x
ò 1 = t = ln x =
dx
x
x
t
e
t
ò 1 1 = ò 1 − 2 = ln −ln 1(+ 2 ) = −ln 1(+ 2 t) 1 + 2 e
1 + 2 x x
x
1 + 2 x
dt = 1 dx
x
2 t
e
= x
ò 2 = 2 t = ln x =
t
x
x
t
e
2 t
ò 2 1 = ò 1 − 3 = ln −ln 1(+3 ) = 2 − ln 1(+ 3 2 ) 1 + 3 e
1 + 3 x 2 x
x
1 + 3 x
dt = 1 dx
2 x
2
4
3
1 2 e
1 3 e
3
6
2
4
( + )( + )
ò δ
t = 9 − ln 1
( + 2 e ) 1
( + 3 e ) − 6 + ln 1
( + 2 e ) 1
( + 3 e ) = 3 + ln
2
1
( +
3
2 e ) 1
( +
6
3 e )
(
A )
2 = 1
A )
3
(
= exp(ò3δ
)
t
= exp( )
3 exp(ln...)
2
1
( + 2 2
e ) 1
( + 3 4
e )
ODP = exp( )
3
−1 ≈
%
7
,
4
1
( + 2 3
e ) 1
( + 3 6
e )