Egzamin dla Aktuariuszy z 17 maja 2003 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
=
−
=
n
n
n
n
n
a
v
Ia
Ia
v
a
a
I.
98
,
9
8
,
0
04
,
0
8
,
0
04
,
0
⋅
=
+
=
+
n
n
n
n
nXv
Ia
Xv
a
Po roku :
v
v
v
v
Xv
a
v
Xv
v
v
a
Xv
a
n
n
n
n
n
n
04
,
0
8
,
0
04
,
0
04
,
0
04
,
0
04
,
0
1
1
−
=
−
+
=
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
=
+
−
−
[
]
v
v
v
Xv
a
nXv
Ia
v
Xv
v
nXv
v
a
v
Ia
v
Xv
n
Ia
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
98
,
8
8
,
0
8
,
0
98
,
9
8
,
0
)
04
,
0
(
04
,
0
)
(
04
,
0
)
1
(
04
,
0
1
1
⋅
=
−
⋅
=
+
−
+
=
=
−
+
−
−
−
=
−
+
−
−
Analogicznie dla drugiej obligacji:
udzial
to
0,4
gdzie
4
,
0
04
,
0
8
,
0
04
,
0
8
,
0
98
,
8
8
,
0
⋅
−
=
−
⋅
=
v
v
C
v
d
A
A
6
,
0
06
,
0
9
,
0
06
,
0
9
,
0
85
,
7
9
,
0
⋅
−
=
−
⋅
=
v
v
C
v
d
B
B
052
,
0
06
,
0
6
,
0
04
,
0
4
,
0
2
=
⋅
−
⋅
=
=
C
c
C
d
35
,
8
≈
+
+
+
+
=
C
B
A
C
C
B
B
A
A
C
C
C
C
d
C
d
C
d
ODP
Zadanie 2
od - odchylenie stopy zwrotu akcji
[
]
[
]
5
,
0
5
,
0
2
5
,
0
5
,
0
1
2
1
5
,
0
)
/(
)
/
ln(
5
,
0
)
/(
)
/
ln(
)
exp(
)
(
)
exp(
)
(
n
od
n
od
Rn
E
S
d
n
od
n
od
Rn
E
S
d
Rn
E
S
C
P
d
N
Rn
E
d
SN
C
E
E
E
⋅
−
⋅
+
=
⋅
+
⋅
+
=
−
+
−
=
−
−
=
(i)
0
R
n
)
exp(
)
(
)
exp(
)
(
)
(
)
exp(
)
(
2
1
2
1
=
→
∀
−
+
−
−
−
=
−
−
Rn
S
S
d
N
Rn
S
d
SN
d
N
Rn
S
d
SN
(ii)
X
n
od
SN
n
od
SN
X
d
N
Rn
S
d
SN
n
n
dla
=
⋅
−
−
⋅
→
=
−
−
=
)
5
,
0
(
)
5
,
0
(
)
(
)
exp(
)
(
5
,
0
0
5
,
0
0
2
0
1
0
(
) (
)
[
]
X
odn
N
odn
N
S
n
od
SN
n
od
SN
ODP
2
5
,
0
5
,
0
2
)
)
4
(
2
1
5
,
0
(
2
)
)
4
(
2
1
5
,
0
(
2
5
,
0
0
5
,
0
0
5
,
0
5
,
0
=
−
−
=
=
⋅
−
−
⋅
=
Zadanie 3
)
20
(
14
,
0
25
,
0
14
,
1
)
10
(
14
,
0
;
10
10
dlug
Ls
L
dlug
=
⋅
−
⋅
=
(i)
10
1
,
0
;
10
10
1
,
1
5
,
0
1
,
1
)
20
(
⋅
+
=
+
⋅
L
Xa
NPV
L
dlug
L
od
å
=
⋅
−
⋅
⋅
=
úû
ù
êë
é
⋅
−
−
⋅
=
10
1
08
,
0
;
10
08
,
0
;
10
10
08
,
0
5
,
0
08
,
0
5
,
0
1
,
1
08
,
1
08
,
0
10
5
,
0
)
1
(
5
,
0
k
k
od
Ia
a
L
k
L
NPV
Wiemy,
Ŝ
e:
obliczamy
1
,
1
5
,
0
450000
1
,
1
)
20
(
12
,
0
5
,
0
12
,
1
14
,
0
5
,
0
12
,
1
14
,
1
)
20
(
10
1
,
0
;
10
10
*
12
,
0
;
10
10
14
,
0
;
10
10
10
*
L
L
a
NPV
L
dlug
Ls
Ls
L
dlug
od
→
⋅
+
=
=
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
Z (i) wychodzi X około 213046
Zadanie 4
)
1
(
...
2
)
3
2
(
)
1
(
...
2
1
...
...
3
2
)
3
2
(
2
)
1
(
...
2
1
2
)
3
2
(
)
1
(
...
2
1
)
1
(
...
2
1
...
...
2
1
1
1
2
3
2
1
2
1
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
=
+
+
+
−
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
=
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
r
n
n
n
n
r
n
n
n
r
n
r
r
r
n
n
n
n
{
}
)
1
2
(
2
2
)
3
2
)(
1
(
2
1
1
n
1,...,
k
2
)
1
(
+
−
−
+
+
+
+
−
−
−
+
=
+
∈
+
=
→
n
k
k
n
n
n
k
n
n
r
k
k
r
k
k
Analizuj
ą
c dochodzimy do tego,
Ŝ
e max dla k=n+1 bo:
1
n
k
dla
+
≤
k
r
jest funkcj
ą
rosn
ą
c
ą
wi
ę
c max dla k=n+1
k
r dla k>=n+2 jest parabol
ą
i wierzchołek jest w k wi
ę
kszym od n+1, dlatego max dla k=n+2
Porównuj
ą
c warto
ś
ci dla k=n+1 i k=n+2 otrzymujemy,
Ŝ
e max dla k=n+1
Zadanie 6
α
α
α
8
)
...
(
...
...
2
)
(
12
5
8
6
5
2
5
1
=
+
+
=
+
=
v
v
X
v
v
X
v
X
)
(
)
(
6
5
4
3
4
3
2
2
1
v
v
v
X
v
v
X
v
X
ODP
+
+
+
+
+
=
Wiemy,
Ŝ
e:
obliczamy
370
)
1
(
8
)
1
(
7
370
)
1
(
)
1
(
3
8
4
7
4
3
8
7
α
α
α
→
=
−
+
−
=
−
+
−
v
a
v
v
a
v
v
X
v
X
34
,
5733
07
,
1
3
07
,
1
2
07
,
1
3
2
2
3
3
3
3
4
2
2
2
4
2
5
≈
+
+
⋅
=
+
+
=
α
α
α
α
α
α
a
v
a
v
a
v
a
v
v
v
ODP
Zadanie 7
........
).........
12
,
1
1000
5
,
0
12
,
1
1000
(
5
,
0
12
,
1
1000
5
,
0
:
....
..........
12
,
1
)
12
,
1
1000
5
,
0
1000
(
12
,
1
1000
2
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
WYP
K
[
]
[
]
(
)
(
)
å
=
−
−
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
=
=
+
+
⋅
+
⋅
=
=
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
=
k
n
k
k
n
n
k
k
k
k
k
W
1
1
1
2
1
2
12
,
1
5
,
0
1
44
,
0
560
12
,
1
5
,
0
1
)
12
,
1
5
,
0
(
1
)
12
,
1
5
,
0
(
5
,
0
1000
5
,
0
5
,
0
12
,
1
1000
5
,
0
12
,
1
5
,
0
...
12
,
1
5
,
0
12
,
1
1000
5
,
0
12
,
1
1000
5
,
0
...
12
,
1
1000
5
,
0
12
,
1
1000
5
,
0
)
(
(
)
(
)
å
=
≈
ú
û
ù
ê
ë
é
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
=
20
6
15
6
19000
12
,
1
5
,
0
1
12
,
1
5
,
0
1
12
,
1
5
,
0
15
44
,
0
560
)
(
k
k
W
ODP
Zadanie 8
02
,
1
1
=
v
....
)
1
)(
(
)
(
)
1
(
3000
...
3000
)
(
)
3000
3000
(
...
6000
3000
100000
2
2
2
2
2
2
2
4
2
=
−
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
v
n
A
n
A
v
v
n
v
n
A
v
n
v
v
n
n
2
4
2
2
2
2
2
2
1
)
1
(
3000
)
1
(
1
3000
)
(
v
v
n
v
v
v
n
A
n
n
−
+
−
−
−
=
+
+
Porównujemy A(n) i 100000
Sprawdzamy,
Ŝ
e dla n=7 A(n)<100000, dla n=8 A(n)>100000
Z tego wynika:
obliczamy
8
3000
...
6000
3000
100000
18
16
4
2
X
Xv
v
v
v
→
+
⋅
+
+
+
=
0
)
5
,
4
(
)
4
(
24000
)
5
,
3
(
24000
21000
)
3
(
2
4
2
6
4
2
=
=
+
=
+
+
=
ZAD
Xv
ZAD
Xv
v
ZAD
Xv
v
v
ZAD
ZAD(3)-ZAD(3,5)=KAP(3,5)
ZAD(3,5)-ZAD(4)=KAP(4)
2
6
4
2
24000
21000
45000
)
4
(
24000
)
5
,
3
(
21000
Xv
Xv
v
v
KAP
KAP
ODP
+
−
−
−
=
−
+
−
=
Wychodzi około 4050.
Zadanie 9
(i)
30
5000
Xa
=
dla pojedynczej renty:
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
31
30
31
k
k
k
v
X
Xa
Xa
X
k
ZAD
k
ZAD
X
k
OD
−
−
−
−
=
+
−
=
+
−
−
=
(
)
[
]
(
)
ú
û
ù
ê
ë
é
−
−
=
−
−
=
=
−
=
+
+
+
=
å
=
−
14
30
30
14
30
31
30
15
31
12
,
1
12
,
1
12
,
0
12
,
1
1
16
16
)
1
(
)
15
(
...
)
29
(
)
30
(
X
s
s
v
X
v
X
OD
OD
OD
ODP
k
k
&
&
&
&
W stawiamy X wyliczony w równaniu (i) i wychodzi około 5603
