Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
−
⋅
=
⋅
+
⋅
∆
−
⋅
=
⋅
+
⋅
∆
)
0
;
200
200
85
,
0
max(
06
,
1
85
,
0
200
)
0
;
200
200
1
,
1
max(
06
,
1
1
,
1
200
0
0
0
0
B
B
5
2
20
50
0
06
,
1
170
20
06
,
1
220
0
0
0
0
0
0
=
∆
→
=
∆
→
=
+
∆
=
+
∆
B
B
czyli:
15
,
64
06
,
1
68
88
20
06
,
1
20
06
,
1
5
2
220
0
0
0
−
≈
−
=
−
=
=
+
⋅
B
B
B
Zadanie 2
Dla długiej pozycji:
Opcja kupna -
(
)
0
;
max
X
S
T
−
Opcja sprzedaŜy -
(
)
0
;
max
T
S
X
−
Dla krótkiej pozycji:
Opcja kupna:
(
)
0
;
max
X
S
T
−
−
Opcja sprzedaŜy:
(
)
0
;
max
T
S
X
−
−
SPRAWDZAMY:
a)
( ) (
)
.....
4
2
06
,
0
3
2
1
+
+
+
−
=
T
T
e
p
p
c
S
F
NIE
b)
( ) (
)
....
4
2
06
,
0
3
2
1
+
−
+
−
=
T
T
e
c
c
p
S
F
NIE
c)
( ) (
)
(
)
(
)
(
)
0
;
max
4
0
;
max
2
0
;
max
4
2
3
2
1
06
,
0
3
2
1
X
S
X
S
S
X
e
c
c
p
S
F
T
T
T
T
T
−
−
−
+
−
−
+
−
=
1.
1
X
S
T
<
(
)
(
)
T
T
S
X
e
c
c
p
−
−
+
−
1
06
,
0
3
2
1
4
2
OK.
2.
2
1
X
S
X
T
<
≤
(
)
T
e
c
c
p
06
,
0
3
2
1
4
2
+
−
OK.
3.
3
2
X
S
X
T
<
≤
(
)
(
)
2
06
,
0
3
2
1
2
4
2
X
S
e
c
c
p
T
T
−
+
+
−
OK.
4.
3
X
S
T
≥
(
)
(
) (
)
(
)
T
T
T
T
T
e
c
c
p
X
X
S
X
S
X
S
e
c
c
p
06
,
0
3
2
1
3
2
3
2
06
,
0
3
2
1
4
2
4
2
2
4
2
4
2
+
−
+
+
−
−
=
−
−
−
+
+
−
OK.
czyli odpowiedź C jest prawidłowa
Zadanie 3
PoniewaŜ obie obligacje są takie same to w przypadku obligacji (B) mamy dodatkową
moŜliwość konwersji więc cena tej obligacji nie moŜe być mniejsza od ceny obligacji A
Dlatego
)
0
(
)
0
(
B
A
P
P
≤
Zadanie 4
a – ilość obligacji P(0,1)
b – ilość obligacji P(0,2)
c – ilość obligacji P(0,3)
d – ilość obligacji P(0,4)
a,b,c,d – całkowite, mogą być ujemne
1. 0,9a+0,81b+0,729c+0,684d=0 - bo wydajemy 0
Ŝ
eby nie było arbitraŜu to w kaŜdym wariancie zarobimy 0 tzn.
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
86
,
0
92
,
0
0
75
,
0
805
,
0
9
,
0
0
7
,
0
77
,
0
88
,
0
xd
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
1. mnoŜymy przez
0
76
,
0
81
,
0
9
,
0
9
10
=
+
+
+
→
d
c
b
a
2.
Układ równań rozpisujemy uwzględniając 2.
2
;
9
2
16
0
)
76
,
0
(
100
5
2
5
10
4
2
6
0
)
76
,
0
(
05
,
0
02
,
0
0
01
,
0
005
,
0
0
06
,
0
04
,
0
02
,
0
−
=
−
−
=
→
=
−
+
+
−
=
−
−
=
→
=
−
+
+
=
−
−
=
−
−
−
d
c
c
b
d
x
d
c
b
c
d
c
b
d
d
x
c
b
d
c
d
c
b
Z tego:
84
,
0
76
,
0
)
2
(
04
,
0
16
,
0
76
,
0
100
4
16
76
,
0
100
5
2
=
+
−
⋅
+
=
+
+
=
→
+
−
−
=
d
c
d
x
d
c
b
x
Zadanie 5
4
4
4
4
8
4
4
4
4
7
6
4
4
4
4
4
8
4
4
4
4
4
7
6
B
A
v
v
v
v
v
v
v
X
ODP
....
7
2
5
2
3
2
....
7
2
5
2
3
2
2
6
4
2
7
5
3
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
1
)
(
3
)
(
1
)
(
=
+
′
t
A
t
A
t
A
∫
+
=
+
A
A
dA
A
A
3
1
ln
3
1
3
1
∫
+
=
C
t
dt
1
C
t
t
A
t
A
+
=
+
)
(
3
1
)
(
ln
3
1
A(0)=1
3
1
=
C
3
1
)
(
3
1
)
(
ln
3
1
+
=
+
t
t
A
t
A
1
3
)
(
)
(
ln
+
=
+
t
t
A
t
A
i sprawdzamy
A(1)=2,8 L równa się około 3,82
A(1)=2,9 to L równa się około 3,96
A(1)=3 to L równa się około 4,09
Czyli odpowiedź B jest najbliŜej
Zadanie 7
15
3
2
)
500
14
(
...
)
500
2
(
)
500
(
100000
v
P
v
P
v
P
Pv
⋅
−
+
+
⋅
−
+
−
+
=
15
3
2
15
...
3
2
100000
Qv
Qv
Qv
Qv
+
+
+
+
=
15
14
3
2
2
1
,
1
...
1
,
1
1
,
1
100000
v
R
v
R
v
R
Rv
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
=
(
)
i
v
a
v
Pa
v
v
v
v
Pa
14
14
15
14
2
15
14
500
14
...
2
500
100000
−
−
=
+
+
+
−
=
&
&
(
)
i
v
a
Q
v
v
v
Q
15
15
15
2
15
15
...
2
100000
−
=
+
+
+
=
&
&
07
,
1
1
,
1
1
07
,
1
1
,
1
1
07
,
1
1
07
,
1
1
,
1
...
07
,
1
1
,
1
07
,
1
1
,
1
07
,
1
1
100000
15
15
14
3
2
2
−
−
⋅
=
+
+
+
+
=
R
R
07
,
0
07
,
1
1
1
07
,
0
07
,
1
14
07
,
1
1
1
07
,
1
1
1
07
,
1
1
500
100000
15
14
14
−
−
−
−
⋅
+
=
P
15
15
07
,
1
1
15
07
,
1
1
1
07
,
1
1
1
07
,
0
100000
⋅
−
−
−
⋅
=
Q
07
,
1
1
,
1
1
07
,
1
1
,
1
1
07
,
1
1
100000
15
−
−
=
R
Z tego:
235760
300000
15
2
15
1
14
2
14
1
500
15
15
≈
−
+
⋅
+
+
⋅
+
−
=
Rs
Q
P
ODP
Zadanie 8
Cena obligacji 10-letniej:
10
10
4
2
06
,
1
10800
06
,
1
1
...
06
,
1
1
06
,
1
1
800
1
+
+
+
+
=
P
cena obligacji 12-letniej:
12
12
4
2
06
,
1
10800
06
,
1
1
...
06
,
1
1
06
,
1
1
800
2
+
+
+
+
=
P
KREDYT=0,8(P1+P2)
Wartość kredytu po 3 latach:
3
08
,
1
)
2
1
(
8
,
0
)
3
(
⋅
+
=
P
P
KR
cena sprzedaŜy obligacji:
9
9
3
7
7
3
05
,
1
10800
05
,
1
1
...
05
,
1
1
05
,
1
1
800
05
,
1
10800
05
,
1
1
...
05
,
1
1
05
,
1
1
800
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
CO
wartość funduszu po 3 latach:
07
,
1
1600
⋅
=
F
RO – inwestycja
R1 – zwrot
RO=0,2(P1+P2)
R1=CO+F-KR(3)
100
1
0
1
3
1
⋅
−
=
R
R
ODP
3
9
2
10
7
2
8
08
,
1
)
2
1
(
8
,
0
07
,
1
1600
05
,
1
10800
05
,
1
1
1
05
,
1
1
1
05
,
1
800
05
,
1
10800
05
,
1
1
1
05
,
1
1
1
05
,
1
800
1
P
P
R
+
−
⋅
+
+
−
−
+
+
−
−
=
%
7
,
8
%
82
,
8
≈
≈
ODP
Zadanie 9
m – moment pierwszej raty
n – moment ostatniej raty
1.załóŜmy, Ŝe
∞
=
n
, wtedy:
...
...
)
1
(
)
(
1
1
+
+
+
+
+
=
+
+
m
m
m
m
v
v
v
m
mv
a
d
v
v
v
mv
LICZ
v
v
mv
v
v
mv
v
LICZ
v
m
mv
v
LICZ
v
m
mv
LICZ
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
−
−
+
=
−
+
=
+
+
+
=
−
⋅
+
+
+
=
⋅
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
...
)
1
(
...
)
1
(
...
)
1
(
1
1
2
1
2
1
1
v
v
MIAN
m
−
=
1
v
v
m
a
d
−
+
=
1
)
(
wtedy:
∞
=
=
→
→
)
(
lim
)
(
lim
1
0
a
d
a
d
v
i
z tego wynika, Ŝe n – skończone
WTEDY:
n
m
m
m
n
m
m
m
v
v
v
v
n
m
v
m
mv
a
d
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
...
)
(
...
)
1
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
)
(
1
1
)
(
...
)
1
(
)
(
...
)
1
(
)
(
...
)
1
(
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
+
=
+
−
+
+
+
=
−
⋅
+
+
+
+
+
=
⋅
+
+
+
+
+
=
n
m
n
m
m
n
m
n
m
m
m
n
m
m
m
n
m
m
m
v
n
m
v
v
v
mv
v
n
m
v
v
mv
v
LICZ
v
n
m
v
m
mv
v
LICZ
v
n
m
v
m
mv
LICZ
v
v
n
m
v
v
v
v
mv
LICZ
n
m
n
m
m
−
+
−
−
−
+
−
=
+
+
+
1
)
(
)
1
(
1
1
1
2
1
v
v
v
MIAN
n
m
−
−
=
+
1
1
1
(
)
(
)
1
1
1
1
1
)
(
)
1
(
1
1
1
)
(
+
+
+
+
−
+
−
−
−
−
+
−
=
n
n
n
n
n
v
v
n
m
v
v
v
v
v
m
a
d
11
)
(
lim
)
(
lim
0
=
=
=
→
∞
→
m
a
d
a
d
v
i
(
)
(
)
=
−
−
−
+
−
−
+
−
=
=
+
+
→
→
→
)
1
(
1
)
1
)(
(
1
)
1
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
1
1
1
1
0
v
v
v
v
n
m
v
v
v
m
a
d
a
d
n
n
n
v
v
i
(
)
=
+
−
+
+
−
+
+
+
=
−
+
−
+
+
+
+
=
−
→
+
+
−
→
n
n
n
v
H
n
n
n
v
v
n
v
n
n
m
nv
v
v
v
n
m
v
v
v
m
)
1
(
)
1
)(
(
...
2
1
lim
1
)
(
...
1
lim
1
1
1
1
1
1
5
,
20
2
)
1
(
)
1
)(
(
2
1
=
−
+
=
+
−
+
+
−
+
=
n
n
m
n
n
n
m
n
n
19
41
22
5
,
20
2
1
11
=
=
+
=
+
n
n
n
08
,
1
1
...
30
11
=
+
+
=
v
v
v
A
v
v
v
v
v
v
v
B
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
B
v
v
v
Bv
v
v
v
B
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
+
+
+
=
+
+
+
=
1
6
)
1
(
1
1
15
6
1
1
15
6
...
15
)
1
(
6
...
14
15
6
...
14
15
21
2
9
12
11
21
9
12
11
21
20
13
12
11
21
13
12
20
12
11
v
v
v
A
−
−
=
1
1
20
11
39
≈
+
B
A
Zadanie 10
SP(i) – spłacony kapitał w racie i-tej
KR(i) – kredyt dla i=0,1,...,10
ODP=KR(4)-KR(7)
3
2
6
2
10
...
9
8
)
7
(
10
...
6
5
)
4
(
v
v
v
KR
v
v
v
KR
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
−
−
−
=
−
−
−
+
+
+
=
6
5
4
3
2
3
2
6
2
10
9
8
3
3
3
10
9
8
10
...
6
5
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
ODP
(
) (
)
3
2
3
2
3
3
10
9
8
v
v
v
v
v
v
v
+
+
−
+
+
=
