Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. 
 
Matematyka Finansowa 
 
Zadanie 1 
 

ò

ò

+

+

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

→

+

+

+

−

=

+

−

b

a

a

b

b

a

A

t

b

a

e

b

a

a

b

t

t

1

1

exp

1

1

ln

1

δ

 

ò

+

+

+

=

−

t

t

s

t

s

t

t

e

A

ds

t

e

A

A

0

0

1

1

1

 

1

1

,

1

1

,

1

ln

     

1

,

1

ln

1

1

,

1

3

3

3

−

=

−

=

−

−

−

t

B

t

t

t

s

δ

 

(

)

ò

ò

−

−

=

−

−

=

−

=

=

=

=

=

−

−

b

a

b

a

t

t

t

b

a

b

a

x

x

dx

x

x

x

dx

dt

dx

dt

x

1

,

1

1

,

1

1

,

1

1

,

1

ln

)

1

,

1

ln(

1

,

1

ln

1

,

1

1

,

1

ln

1

,

1

ln

1

,

1

ln

1

,

1

1

,

1

1

1

,

1

1

,

1

ln

3

3

1

,

1

1

,

1

1

,

1

1

,

1

3

3

3

 

2

3

3

0

2

3

3

0

1

,

1

1

,

1

1

1

,

1

       

1

,

1

1

,

1

1

1

,

1

−

−

=

−

−

=

B

B

B

B

t

t

 

t

t

t

s

s

t

t

e

t

t

e

A

e

A

t

e

A

−

−

+

⋅

+

+

+

=

ò

)

1

(

 

  

1

1

0

0

 

0

0

)

1

(

A

e

A

e

t

A

t

s

s

t

t

+

=

+

ò

−

 

[

]

t

t

t

t

t

t

t

t

t

e

e

A

e

e

t

A

e

A

t

A

⋅

=

+

−

+

+

′

−

 

 

)

1

(

)

1

(

2

 

)

1

(

: 

 

0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

t

t

A

t

A

A

t

A

A

t

A

t

t

t

t

t

t

+

=

+

−

+

′

=

+

−

+

+

′

 

C

A

a

Ce

A

A

A

t

t

t

t

=

=

→

=

′

0

  

   

 

ï

ï

î

ïï

í

ì

=

+

=

−

−

+

=

+

1

5

1

,

1

1

,

1

1

1

,

1

0

0

2

3

3

0

2

0

2

2

B

A

B

e

A

B

A

X

4

8

4

7

6

 

51

,

0

49

,

0

5

5

0

2

0

0

2

0

≈

→

≈

−

−

=

=

−

+

B

X

e

X

A

X

A

X

e

A

 

 

Zadanie 2 

 

1

exp

5

4

−

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

ò

t

ODP

δ

 

 
 
 

3

,

3

0

(..)(..)

)

2

2

(

(..)(..)

)

2

1

(

2

2

2

1

−

=

=

=

+

+

+

=

+

+

=

+

+

A

B

B

A

B

B

A

x

x

B

xA

x

B

x

A

 

 

10

8

5

4

)

10

exp(

)

8

exp(

)

10

exp(

)

8

exp(

)

10

exp(

)

8

exp(

2

2

2

2

1

2

1

ln

2

3

3

 

)

2

1

ln(

2

3

ln

2

3

2

1

3

2

3

2

1

2

1

3

2

2

2

1

3

e

e

x

x

x

x

dx

x

x

x

dx

dt

dx

dt

e

x

e

e

t

t

t

+

+

+

=

=

+

−

=

+

−

=

+

=

=

=

=

=

+

ò

ò

ò

 

ò

=

+

5

4

5

6

ln

1

1

t

 

%

20

1

2

1

2

1

5

6

5

,

1

10

8

3

≈

−

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

+

=

e

e

e

ODP

 

 

Zadanie 3 

 

8

7

8

7

3

2

8

3

2

7

2

15

,

0

01

,

0

02

,

0

15

,

0

02

,

0

...

02

,

0

02

,

0

03

,

0

)

1

(

15

,

0

...

05

,

0

03

,

0

15

,

0

...

05

,

0

03

,

0

v

v

a

v

v

v

v

v

v

A

v

v

v

Av

v

v

v

A

−

+

=

−

+

+

+

+

=

−

+

+

+

=

+

+

+

=

 

 

7

7

2

10

10

15

,

0

...

05

,

0

03

,

0

100000

5000

Xv

Xv

Xv

Xv

v

a

P

+

+

+

+

=

+

=

 

81155

1

15

,

0

01

,

0

06

,

0

1

02

,

0

100000

06

,

0

1

5000

15

,

0

...

05

,

0

03

,

0

100000

06

,

0

1

5000

7

8

7

10

10

7

7

2

10

10

≈

+

−

−

+

−

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

−

=

+

+

+

+

+

−

=

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

X

A

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

2

1

 

 

Zadanie 4 

 

06

,

0

;

19

05

,

0

;

19

05

,

0

;

20

100

100

Xa

a

a

Y

=

=

 

 

3

,

108

06

,

0

06

,

1

1

1

05

,

0

05

,

1

1

1

100

19

19

≈

÷

ø

ö

ç

è

æ

−

÷

ø

ö

ç

è

æ

−

=

X

 

 

Zadanie 5 

 

å

å

∞

=

∞

=

+

+

=

1

1

)

5

(

)

5

(

n

n

n

n

v

an

v

an

n

dur

 

∞

∞

∞

−

=

−

−

−

−

+

=

+

−

⋅

+

=

+

−

+

=

−

+

+

=

+

+

=

a

Ia

v

v

v

Ia

v

v

v

v

v

v

A

v

v

Av

v

v

A

2

...

)

(

2

...

)

1

2

2

(

...

)

1

2

(

)

1

(

...

2

1

...

2

1

3

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

 

 

v

v

v

v

v

I

v

v

Iv

v

v

I

−

=

+

+

=

−

+

+

=

+

+

=

1

...

)

1

(

...

2

...

2

2

3

2

2

    

ï

ï

î

ïï

í

ì

−

=

−

=

→

∞

∞

2

)

1

(

1

v

v

Ia

v

v

a

 

 

50

)

5

5

)(

1

(

5

5

5

5

)

1

(

)

1

(

)

1

(

5

)

(

)

1

(

)

1

(

5

)

1

(

5

)

1

(

)

1

(

2

1

5

)

1

(

)

1

(

5

1

1

)

1

(

2

5

5

1

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

3

2

2

2

=

−

+

−

−

+

+

=

−

+

+

−

−

+

+

=

−

−

+

−

+

−

−

−

=

=

−

+

−

−

+

−

−

−

−

=

+

+

−

−

=

∞

∞

∞

∞

∞

v

v

av

v

v

v

av

av

v

v

av

v

v

v

v

v

v

a

v

v

v

av

v

v

v

v

v

v

a

v

v

v

av

v

v

v

v

v

v

v

a

a

aIa

Ia

v

a

Ia

a

dur

 

Z tego mamy: 
 

2

2

2

2

5

5

)

5

5

(

50

)

5

5

(

50

av

v

v

av

v

v

av

v

v

v

av

+

−

+

=

−

+

−

−

+

 

2

3

2

2

2

2

250

250

250

250

5

5

)

50

50

(

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

a

+

−

−

+

−

=

−

−

−

 

6

,

4

51

49

245

250

495

2

3

2

≈

−

−

−

=

v

v

v

v

v

a

 

 

 
 
 
 

Zadanie 6 

 

3

04

,

0

80

60

25

,

0

=

=

=

=

=

s

R

X

P

T

S

       

[

]

[

]

9151

,

0

25

,

0

3

5

,

0

)

25

,

0

3

/(

04

,

0

)

80

/

60

ln(

5848

,

0

25

,

0

3

5

,

0

)

25

,

0

3

/(

04

,

0

)

80

/

60

ln(

)

(

80

)

(

60

80

60

5

,

0

5

,

0

2

5

,

0

5

,

0

1

2

25

,

0

04

,

0

1

25

,

0

04

,

0

−

≈

⋅

⋅

−

⋅

+

=

≈

⋅

⋅

+

⋅

+

=

−

=

+

−

=

⋅

−

⋅

−

d

d

d

N

e

d

N

P

e

P

ODP

C

C

 

 

48

1841

,

0

8159

,

0

1

)

(

7257

,

0

)

(

2

1

≈

→

=

−

≈

≈

ODP

d

N

d

N

 

 

Zadanie 7 

 
x - obligacje 
y- akcje 
 

3

2

    

3

1

1

2

1

=

=

→

ïî

ï

í

ì

=

+

=

y

x

y

x

y

x

 

 

2

1

S

b

S

a

−

−

 

 

0003

,

0

04

,

0

03

,

0

25

,

0

)

;

cov(

2

1

=

⋅

⋅

=

S

S

 

1

04

,

1

3

1

)

1

(

3

2

)

1

(

3

2

1

)

1

(

3

2

)

1

(

3

2

04

,

1

3

1

2

1

2

1

−

+

+

+

+

=

+

=

+

+

+

+

S

b

S

a

R

R

S

b

S

a

 

C

a

a

a

a

a

a

a

ab

b

a

R

+

⋅

+

⋅

−

+

⋅

−

+

=

=

−

⋅

+

+

−

+

=

=

⋅

⋅

+

+

=

>

)

0003

,

0

9

4

2

04

,

0

9

4

2

(

)

0003

,

0

9

4

2

04

,

0

9

4

03

,

0

9

4

(

)

1

(

0003

,

0

9

4

2

)

2

1

(

04

,

0

9

4

03

,

0

9

4

0003

,

0

9

4

2

04

,

0

9

4

03

,

0

9

4

var

2

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

4

4

8

4

4

4

4

4

7

6

 

Z tego wynika: 
 

68

,

0

2

min

≈

−

=

a

b

a

 

%

1

,

7

1

04

,

1

3

1

)

1

,

0

1

)(

1

(

3

2

)

08

,

0

1

(

3

2

≈

−

+

+

−

+

+

=

a

a

ER

 

 
 
 
 

Zadanie 8 

 

52

,

0

2

5

,

2

20

16

)

1

(

24

01

,

0

01

,

0

≈

−

=

→

=

−

+

⋅

e

p

e

p

p

 

 
Liczymy od ostatnich w

ę

złów bior

ą

c warto

ść

 opcji jako max z dochodu z wykonania i 

warto

ś

ci zdyskontowanej (na dole piszemy warto

ść

 opcji) 

 

 
 
*** komentarz: np. w tym miejscu mamy: 
 
x=

[

]

01

,

0

)

1

(

648

,

3

472

,

17

−

−

+

e

p

p

 i max(x;34,56-24) itd. 

 
ODP=2,239 
 

Zadanie 9 

 
Z artykułu (Piontek) 
„Modelowanie struktury stóp procentowych na rynku polskim – wprowadzenie” 
http://www.kpiontek.ae.wroc.pl/stopyproc.pdf 
 

)

;

0

(

)

;

0

(

)

;

0

(

T

Y

T

T

Y

T

f

′

⋅

+

=

 

)

(

)

05

,

0

2

,

0

15

,

0

04

,

0

(

01

,

0

)

;

0

(

2

3

A

T

T

T

T

Y

→

−

+

−

=

′

 

 
 
 
 

 
 

Zadanie 10 

 

30230

04

,

0

04

,

1

1

1

5000

08

,

0

08

,

1

1

1

10000

5000

)

10000

(

10000

20

20

04

,

0

;

20

08

,

0

;

20

08

,

0

;

30

≈

÷

ø

ö

ç

è

æ

−

−

÷

ø

ö

ç

è

æ

−

=

=

−

=

X

a

X

a

a

X