Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach
pojawią się ,,reszki’’. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 6
Wskazówka: jeśli w rzucie numer
n
jest orzeł to przyjmijmy, że „układ jest w stanie
0”. Jeśli w rzucie numer jest reszka a w rzucie
n
1
−
n
był orzeł, to „układ jest w
stanie 1”. Kończymy, gdy „układ znajdzie się w stanie 2”. W ten sposób definiujemy
łańcuch Markowa. Rozpatrz wartość oczekiwaną liczby rzutów w zależności od stanu
układu.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 2. Rozważmy niezależne zmienne losowe W
o jednakowym
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną
,...
,...,
,
1
0
n
W
W
µ
. Niech
będzie zmienną
losową o rozkładzie Poissona wartością oczekiwaną
N
λ , niezależną od
Oblicz dystrybuantę rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej
losowej
,...
,...,
,
1
0
n
W
W
W
Y
.
{
}
N
W
W
W
,...,
,
min
1
0
=
(A)
(
)
[
]
µ
λ
µ
y
e
y
Y
y
−
−
−
=
≤
−
1
exp
1
)
Pr(
/
(B)
(
)
[
]
1
exp
1
)
Pr(
/
−
−
=
≤
−
µ
λ
y
e
y
Y
(C)
[
]
µ
λ
y
y
Y
−
−
=
≤
exp
1
)
Pr(
(D)
[
]
)
(
exp
1
)
Pr(
µλ
y
y
Y
−
−
=
≤
(E)
µ
λ
λ
y
y
Y
+
−
=
≤
1
)
Pr(
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 3.
Rozpatrzmy standardowy model jednokierunkowej analizy wariancji.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych
, przy czym
ij
X
;
k
)
,...
1
,...,
1
(
i
n
j
i
=
=
i
ij
X
E
µ
=
]
[
i
Var
. Przyjmijmy typowe
oznaczenia:
2
]
[
σ
=
ij
X
∑
∑
=
=
−
=
i
n
j
i
ij
k
i
X
X
SSW
1
2
1
)
(
,
∑
∑
=
=
−
=
i
n
j
ij
k
i
X
X
1
2
1
)
(
,
SST
gdzie
∑
=
=
i
n
j
ij
i
i
X
n
X
1
1
,
∑
∑
=
=
=
i
n
j
ij
k
i
X
n
X
1
1
1
,
.
∑
=
=
k
i
i
n
n
1
Przy założeniu, że hipoteza o jednorodności jest prawdziwa, czyli że
k
µ
µ
=
= ...
1
,
oblicz
SST
SSW
E
.
(A)
∑
∑
=
=
+
k
i
i
k
i
i
n
k
n
1
2
1
2
(B)
2
1
2
n
n
k
i
i
∑
=
(C)
1
1
−
−
−
n
k
n
(D)
1
−
−
n
k
n
(E)
n
k
n
−
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 4.
Niech W
(
) będzie próbką z rozkładu wykładniczego o
wartości oczekiwanej
n
W
W
,...,
,
2
1
1
>
n
µ
. Rozważmy estymatory parametru
µ
postaci
aS
=
µ
ˆ
, gdzie S
.
∑
=
=
n
i
i
W
1
Znajdź liczbę
a
, dla której błąd średniokwadratowy estymatora, czyli wielkość
2
)
ˆ
(
µ
µ
−
E
jest najmniejszy.
(A)
n
a
1
=
(B)
1
1
−
=
n
a
(C)
1
1
+
=
n
a
(D)
n
n
a
+
=
1
(E) nie istnieje liczba dla której błąd średniokwadratowy odpowiadającego jej
estymatora jest jednostajnie najmniejszy (najmniejszy przy każdej wartości
a
µ
)
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 5.
Załóżmy, że są niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [
. Rozważmy ciąg średnich
geometrycznych
,...
,...,
,
2
1
n
U
U
U
]
1
,
0
n
U
U
2
1
n
U
...
. Wybierz prawdziwe stwierdzenie.
(A)
0
2
1
...
Pr
2
1
=
≤
∞
→
n
n
n
U
U
U
lim
(B)
0
3
1
...
Pr
lim
2
1
=
≤
∞
→
n
n
n
U
U
U
(C)
2
1
2
1
...
Pr
lim
2
1
=
≤
∞
→
n
n
n
U
U
U
(D)
1
1
...
Pr
2
1
=
≤
∞
→
e
U
U
U
n
n
n
lim
(E)
1
3
1
...
Pr
lim
2
1
=
≤
∞
→
n
n
n
U
U
U
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 6.
Zakładamy, że każda pojedyncza szkoda, niezależnie od pozostałych, jest
likwidowana:
• W roku, w którym została zgłoszona – z prawdopodobieństwem
θ
;
• W drugim roku po zgłoszeniu – z prawdopodobieństwem )
1
(
θ
θ
−
;
• W trzecim roku lub później – z prawdopodobieństwem (
.
2
)
1
θ
−
Dane, którymi dysponujemy dotyczą szkód. Wiemy, że spośród nich:
n
•
zostało zlikwidowanych w roku, w którym zostały zgłoszone;
1
n
•
zostało zlikwidowanych w drugim roku po zgłoszeniu;
2
n
•
zostało zlikwidowanych w trzecim roku lub póżniej,
3
n
gdzie n
n
n
n
=
+
+
3
2
1
.
Podaj estymator największej wiarogodności parametru
θ
na podstawie tych danych.
(A)
3
2
1
ˆ
n
n
n
n
+
+
=
θ
(B)
1
2
1
2
ˆ
n
n
n
n
−
+
=
θ
(C)
3
2
1
2
ˆ
n
n
n
n
−
+
=
θ
(D)
n
n
1
ˆ =
θ
(E)
n
n
n
n
n
n
n
3
2
3
2
2
1
1
ˆ
+
−
+
=
θ
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 7.
Rozpatrzmy następujący schemat losowania. Mamy sześć urn,
ponumerowanych liczbami 1,2,3,4,5,6.
W urnie nr.
i znajduje się kul czarnych i
i
i
−
7
kul białych (
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
i
).
Najpierw rzucamy kostką do gry. Jeśli otrzymamy
i oczek, to wybieramy urnę
oznaczoną numerem
i . Losujemy z tej urny kolejno, bez zwracania, 2 kule. Niech
oznacza zdarzenie losowe polegające na wyciągnięciu białej kuli w pierwszym
losowaniu, zaś
- zdarzenie polegające na wyciągnięciu białej kuli w drugim
losowaniu.
1
B
2
B
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe
.
)
|
Pr(
1
2
B
B
(A)
9
/
5
)
|
Pr(
1
2
=
B
B
(B)
9
/
4
)
|
Pr(
1
2
=
B
B
(C)
2
/
1
)
|
Pr(
1
2
=
B
B
(D)
41
/
20
)
|
Pr(
1
2
=
B
B
(E)
7
/
5
)
|
Pr(
1
2
=
B
B
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 8.
jest próbką z rozkładu normalnego o
znanej wartości
oczekiwanej
10
2
1
,...,
,
X
X
X
µ
i
nieznanej wariancji
. Rozważmy test hipotezy
2
σ
4
:
2
0
≤
σ
H
przeciwko alternatywie
4
:
2
1
>
σ
H
,
który jest najmocniejszy na poziomie istotności
05
.
0
=
α
. Dla jakich wartości
wariancji moc tego testu jest niemniejsza, niż 0.95? Podaj zbiór
{
}
95
.
0
:
2
≥
=
testu
moc
M
σ
(A)
)
,
29
.
9
[
∞
=
M
(B)
)
,
46
.
4
[
∞
=
M
(C)
)
,
58
.
18
[
∞
=
M
(D)
)
,
35
.
20
[
∞
=
M
(E)
)
,
08
.
31
[
∞
=
M
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 9.
Zakładamy, że
są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach normalnych, przy czym :
10
1
,...,
X
X
µ
=
]
[
i
X
E
- wartość oczekiwana wszystkich zmiennych jest
jednakowa i nieznana;
i
i
w
X
Var
2
]
[
σ
=
- wariancje zmiennych są różne; wagi
są
znane a
jest
nieznanym parametrem.
i
w
2
σ
Należy zbudować przedział ufności
[
dla
na poziomie ufności
1
]
ˆ
,
ˆ
2
2
2
1
σ
σ
2
σ
90
.
0
=
−
α
.
Dla którego z poniższych przedziałów prawdziwa jest równość
90
.
0
)
ˆ
ˆ
Pr(
2
2
2
2
1
=
≤
≤
σ
σ
σ
?
(A)
,
3251
.
3
)
(
,
9190
.
16
)
(
]
ˆ
,
ˆ
[
10
1
2
10
1
2
2
2
2
1
−
−
=
∑
∑
=
=
i
i
i
i
i
i
X
X
w
X
X
w
σ
σ
gdzie
10
10
1
∑
=
=
i
i
X
X
(B)
,
3251
.
3
)
(
,
9190
.
16
)
(
]
ˆ
,
ˆ
[
10
1
2
10
1
2
2
2
2
1
−
−
=
∑
∑
=
=
i
w
i
i
i
w
i
i
X
X
w
X
X
w
σ
σ
gdzie
∑
∑
=
=
=
10
1
10
1
i
i
i
i
i
w
w
X
w
X
(C)
,
9403
.
3
)
(
,
3070
.
18
)
(
]
ˆ
,
ˆ
[
10
1
2
10
1
2
2
2
2
1
−
−
=
∑
∑
=
=
i
w
i
i
i
w
i
i
X
X
w
X
X
w
σ
σ
gdzie
∑
∑
=
=
=
10
1
10
1
i
i
i
i
i
w
w
X
w
X
(D)
,
9403
.
3
)
(
,
3070
.
18
)
(
]
ˆ
,
ˆ
[
10
1
10
1
2
10
1
10
1
2
2
2
2
1
−
−
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
i
i
i
w
i
i
i
i
w
i
w
X
X
w
X
X
σ
σ
gdzie
∑
∑
=
=
=
10
1
10
1
i
i
i
i
i
w
w
X
w
X
(E)
(
) (
)
,
2
/
1
;
2
/
)
(
,
2
/
1
;
2
/
)
(
]
ˆ
,
ˆ
[
10
1
05
.
0
10
1
2
10
1
95
.
0
10
1
2
2
2
2
1
−
−
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
i
i
i
w
i
i
i
i
i
w
i
i
w
X
X
w
w
X
X
w
γ
γ
σ
σ
gdzie
∑
∑
=
=
=
10
1
10
1
i
i
i
i
i
w
w
X
w
X
,
zaś symbol
)
,
(
λ
α
γ
p
oznacza kwantyl rzędu p rozkładu Gamma z parametrem
kształtu
α i parametrem skali λ
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
Zadanie 10.
Załóżmy, że
są niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [
. Oblicz warunkową wartość
oczekiwaną
n
U
U
U
,...,
,
1
0
]
1
,
0
{
}
(
)
0
1
0
,...,
,
max
U
U
U
U
E
n
.
(A)
{
}
(
)
1
,...,
,
max
0
1
0
+
=
n
n
U
U
U
U
E
n
(B)
{
}
(
)
1
,...,
,
max
0
0
1
0
+
+
=
n
U
n
U
U
U
U
E
n
n
(C)
{
}
(
)
1
,...,
,
max
1
0
0
1
0
+
+
=
+
n
U
n
U
U
U
U
E
n
n
(D)
{
}
(
)
1
,...,
,
max
0
0
1
0
+
+
=
n
U
n
U
U
U
U
E
n
(E)
{
}
(
)
0
0
1
0
,...,
,
max
U
n
n
U
U
U
U
E
n
+
=
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
6.12.2003r
.
11
XXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi
*
Imię i nazwisko .................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
♦
1 E
2 A
3 D
4 C
5 B
6 B
7 A
8 C
9 B
10 C
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.