Egzamin dla Aktuariuszy z 25 stycznia 2003 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
(i)
NIE bo:
L = i[ a a + a ( Ia) − a a −
= ( − )
1
+
czyli zaleŜy od m a prawa strona m
n
k
n
k
n ]
a a
i
a a
ia v
n
m
n
m
k
nie
(ii)
NIE bo:
( m
1 − a )
n
L =
a
n
1 − an
2
I = a
a
ma
n + 2
n + ... +
m
n
2
3
m 1
Ia
a
a
ma
n =
n + 2
n + ...
+
+
n
1 − m
an
m 1
I 1
( − a )
+
a
ma
n
= n
−
1 −
n
an
v n [ L − mam+1
n
]
P =
= L pytanie czy ta równość prawdziwa; widać, Ŝe nie bo np. dla i=0,1 i 1 − an
n=m=10 nie
(iii)
TAK bo:
2
t
a′ = − v( v + 2 v + ... + tv ) = − v( Ia) t
t
æ
2
t +1
t v
tvt
t ö
æ − tv(1− vt + i − ivt ) å
2
t +1
2
t +1
t
− tvIat −
−
+
=
t v
t v
tv
t
çç
2
2 ÷
÷ å
ö
+
−
−
+
=
çç
2
2
2 ÷
÷
è
i
i
i ø
è
i
i
i
i
i ø
t
t
t
t
t
= åæ − tv 1(− v ) − itv 1(− v ) + t 1(− v ) ö =
1
(
v )( tv
itv
t)
1
(
v ) t( v 1
(
i)
)
1
çç
2
÷÷ å −
− −
+ =
2
å −
−
+ + = 0
è
i
ø
2
i
i
Zadanie 2
t
a t
( ) = 1
( + i)
1
1
1
ln 6 − ln 4 + ln 7 − ln 5 + ... + ln15 − ln13
a
=
+
+ ... +
=
=
10
a
a
a
ln 5 − ln 3
1
2
10
æ 6 ⋅ 7 ⋅8 ⋅⋅⋅⋅15 ö
æ14 ⋅15 ö
æ 21ö
lnç
÷
lnç
÷
lnç
÷
è 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅⋅⋅⋅13ø
è 4 ⋅5 ø
è 2 ø
=
=
=
≈ ,
4 6
æ 5 ö
æ 5 ö
æ 5 ö
lnç ÷
lnç ÷
lnç ÷
è 3ø
è 3ø
è 3ø
Zadanie 3
z f
I
unduszu n
a k
oniec K
: ⋅1,1 bo wszystkie odsetki oprócz ostatniego roku zabierane I
z I f
unduszu 9
: ⋅ 1
,
0 ⋅ ,
1 08 K
I
z
1.
II f
unduszu
1
,
0
:
⋅
[
08
,
0
06
,
1
8 + 2 ⋅ 06
,
1
7 + ... + 8 ⋅ 06
,
1
]
D = 1
( + i) 8 + 1
(
2 + i) 7 + ... + 8 ⋅ 1
( + i)
9
8
2
D 1
( + i) = 1
( + i) + 1
(
2 + i) + ... + 1
(
8 + i)
Di = 1
( + i)9 + ... + 1
( + i) 2 − 1
(
8 + i) = 1
( + i) s&
& − 1
(
8 + i)
8
s − 8
D
8
= &&
d
Z 1 wynika:
s&
&
− 8
1
,
0 ⋅ 0
,
0 8
8;0,06
⋅
0
,
0 6
0
,
1 6
[,1068 − ]1,106 −8
10
,
0 06
1
( + i)
= 1,
1 + 9 ⋅ 1
,
0 ⋅ ,
1 08 + 1
,
0 ⋅ ,
0 08
→ i ≈ 3
,
9 %
,
0 06
,
1 06
Zadanie 4
Po 10 latach = 500000
,
0 4 ⋅ 500000 - rata w II okresie 10
éstopa = 0,08 ù
é
,
0 4 ⋅ 500000ù
ê
ú
OD w roku i (i=1 tzn. 11 rok): 500000 − ( i − ) 1
⋅
ê
ú stop
a ê tylko d
la i
= ú
5
ë
10
û
êstopa = 12% ú
ë
û
4
10
Narosłe odsetki: 1
,
1 2å
9−
OD( i ,
1
) 08 i +
5
,
1 08 OD )
5
(
+ å
10−
OD( i ,
1
) 08
i
i=1
i=6
æ
é
,
0 4 ⋅ 500000 ù
é
,
0 4 ⋅ 500000ù
ö
ç
500000 −
,
0 08
500000 − 3 ⋅
,
0 08 ÷
500000
,
0 08
9 ç
ê
ú
ê
ú
⋅
ë
10
û
ë
10
û
÷
= 1
,
1 2 ⋅ ,
1 08
+
+ ... +
+
ç
2
4
÷
ç
,
1 08
,
1 08
,
1 08
÷
è
ø
é
,
0 4 ⋅ 500000ù
500000 − i
(
)
1
,
0 08
10 ê
−
ú
,
0 4 500000
5 é
⋅
ù
10
ë
10
û
+ ,108 500000 − 4 ⋅
1
,
0 2 + ,
1 08 å
=
ê
ú
i
ë
10
û
i=6
,
1 08
é
,
0 08
,
0 4 500000 1
,
0 4 500000
9
⋅
⋅
ù
5 é
⋅
ù
= 1
,
1 2 ⋅ ,
1 08 500000 ⋅ ,
0 08 a −
Ia
ê
,
1 08 500000
4
1
,
0 2
4
3 ú +
−
+
ê
ú
ë
10
,
1 08
û
ë
10
û
é
1
,
0 4 500000
1
10
⋅
ù
+ ,108 500000 ⋅ ,
0 08
a
ê
− ,
0 08
4
5
5
5 ( a
+ Ia
5
5 )ú = OD
ë
,
1 08
10
,
1 08
û
KREDYT(po 20 latach) = OD+Pozostały Kapitał= OD+ , 0 6 ⋅ 500000
4
1
5
1
9
1
1
KREDYT = Xa
+ Xv
+ Xv
+ ...
3
+ Xv
= Xa
+
Xv a
→
4;0,08
1
,
1 4
1
,
1 4
1
,
1 4
4;0,08
1
,
1 4
6;0,08
→
=
KREDYT
X
≈ 126226
1
3
a
+
v a
4;0,08
1
,
1 4
6;0,08
Zadanie 5
N
B =
← N + ,
0 2 B = B
8
,
0
r = 10
10
r = 2560 ⋅ 2
1
r = 10
11
→ i ∈{ ,1..., }
9 2
560 ⋅
9
r = 2560 ⋅ 4
2i 1-
r = 20
12
8
...
i = 1
0 r = 10
...
i−
...
i ∈ {1 ,
1 ... 1
, }
9 2
560 ⋅ 2 10
...
9
r = 2560 ⋅ 2
dziel p
rzez1
0
r = 2560
19
1
9
1
1
10
19 2560
i
1
N = å 2560 ⋅ 2
+
+
i
i
å
⋅ 2
=
10
10
i
i 1
=
,
1 07 2
,
1 07
i 1
= 1 2
,
1 07
9
9
æ
1
ö
æ 2 ö
1 − ç
÷
− ç
÷
11 1
1
è 2 ⋅ ,
1 07 ø
10
æ 2 ö
è ,
1 07 ø
= 5120 ⋅
+
+ 5
,
2 ç
÷
2 ⋅ ,
1 07
1
,
1 0710
è ,
1 07 ø
2
1 −
1 −
2 ⋅ ,
1 07
,
1 07
= N
WYNIK
⋅ 1
,
0 ≈ 97638
8
,
0
Zadanie 6
Przy uwzględnieniu uwagi:
100
100
I : 4
8 − 48 ⋅
4
8 ⋅
30
30
110
100
II :
2
4
0
− 240 ⋅
2
40 ⋅
30
30
110
100
x(300
)
-
300
3
00
30
30
4
8
6
4
-
42
0
-
30
0
1
00
0
100
x + 48
= 460 → x = 300
30
Z tego wynika:
48 + 64 v − 420 2
v − 300 3
v + 1000 4
v = 0 → 250 4
v − 75 3
v −105 2
v + 16 v + 12 = 0
4
75
3
105 2
16
12
v −
v −
v +
v +
= 0 → v + ... + v
n =
3
,
0
b
o :
250
250
250
250
1
Z teorii:
n
n 1
x + ... + x = − a d l
a x + a x − + ... + a 1
n
n
n
2
Zadanie 7
Sprawdzamy kiedy istnieje:
2
1
æ
1 ö
= x → ç k − ÷ + ( k − ) 1
2
x + x = 0
1
( + i)8
è
2 ø
i ≠
→ x ≠
∆ = −
0
1
3 2
k + 2 k
Zakładamy, Ŝe
i z
e x > 0
− 3 2
k + 2 k ≥ 0
é 2ù
k ∈ ê ;
0
ú
ë 3û
jeszcze sprawdzamy:
1 − k − − 3 2
k + 2 k
.
1 x =
≥
0 c
zy to p
rawdziwe
1
2
1 − k + − 3 2
k + 2 k
x =
≥
0 to o
czywiste b
o 1
- k ≥
0 w tym p
rzedziale
2
2
Sprawdzamy 1.
1 − k ≥ 0
1
( − k)2 ≥ −3 2
k + 2 k ← 4k 2 − 4 k + 1 ≥ 0 ← ∆ = 16 −16 =
0 O
K
æ 2 ö
Odpowiedź: R − ç ;
0
÷
è 3 ø
Zadanie 8
Oznaczmy przez a,b,c,d,e,f,g,h odpowiednio ilość kupionych lub sprzedanych opcji typu: C
, C
, C
, C
, P , P , P , P . Ujemna wartość oznacza Ŝe sprzedajemy taką ilość.
100
110
120
140
100
110
120
140
Tworzymy układ równań:
Np. dla x<=100 mamy:
e 1
( 00 − x) + f 1
( 10 − x) + g 1
( 20 − x) + h 1
( 20 − x) = −20
a dla x ∈ 1
( 10 1
, 2 )
0
a( x −100) + b( x −110) + g 1
( 20 − x) + h 1
( 40 − x) = x −120
Tworząc w ten sposób równania otrzymujemy: a=1, c=-1, g=1, h=-1 reszta równa 0
Odpowiedź: 37,221 − 31 9
, 37 + 47,710 − h ⋅ cena Pozostaje ustalić cenę h:
ì C
P
d
S
S
120 −
120 +
120 =
ì = 94 9
, 87
í
→ í
î C
P
d
S
d
110 −
110 +
110 =
î = 9
,
0 23
C
− P + d 140 = S → obliczamy c ene h 140
140
Ostatecznie wychodzi -9
Zadanie 9
K - kapitał
d = rd
+ 1
( − r) d
A
OB
papdl
10
10
,
0 08 Ia + 10 v
Ia + 10 v
10
10
d
=
=
OB
10
10
,
0 08 a + v
a + v
10
10
Ia
v
∞
1 − v
1
d
=
=
=
papdl
a
2
∞
1
( − v)
v
1 − v
8
9
10
80000 v + 135000 v + 200000 v d
=
zob
8
9
10
10000 v + 15000 v + 20000 v d
d
zob −
r =
papdl ≈ 70%
d
d
OB −
papdl
Zadanie 10
1 − n
v =10
δ
1 − 2 n
v
= 15
δ
ïì10δ = 1− n
v
íïî15δ =1− 2 n
v
Pierwsze równanie mnoŜymy przez 1,5 i odejmujemy II od I.
2
v n − 5
,
1 v n + 5
,
0
=
0 v n = x
x = 5
,
0
→ n
v = 5
,
0
1
x =
1 o
dpada
2
10δ = 1 − 5
,
0
δ = ,
0 05 → −
e δ
n = 5
,
0
→ δ n = ln 2 → n = , 0 693147 ⋅ 20 = 13 8
, 6294
(
2
2
2
Da )
n
a
nv
(2
)
2
....
255
2
= ò n
−
n −
t
t v dt
na
2
n
=
− n
=
≈
2 n
0
δ