Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
O – 0
OR – 1
ORR – 2
p - średni czas przejścia z 0 do 2 = x – szukana średnia 02
p
- średni czas przejścia z 1 do 2
12
x = E(⋅ O)1 + E(⋅ R)1
2
2
E(⋅ O) = 1+ x E(⋅ R) = 1+ p 12
1
1
1
1
p 12 =
+ E (′⋅ O) = + 1
( + x)
2
2
2
2
E (′⋅ O) = 1+ x 1
1
1
1
x =
1
( + x) + 1 +
+ 1
( + x)
2
2
2
2
1
1
1
x −
x −
x =
+1
2
4
2
1
3
x =
4
2
3
x =
⋅ 4 = 6
2
Zadanie 2
∞
P( Y ≤ y) = ∑ P( Y ≤ y N = n) P( N = n) n=0
y
P(
n
Y ≤ y N = n)
−
+
= 1− P( Y > y N = n) (
)
1
= 1− µ
e
∞
− y
yn
y
( n+
)
1
n
∞
n
−
−
λ
λ
P( Y ≤ y) = ∑
µ
−
1 −
λ
e
e
= 1− ∑
− λ
µ
µ
e e
e
=
n
n
n=
!
!
0
n=
0
n
− y
µ
e
λ
y
y
y
−
y
λ exp
λ exp
− ∞
−
−
−
µ
− λ
µ
=
y
1 − e
e e
∑
µ
µ
e
= 1− exp λ e
−1 −
!
n
µ
n=0
6
4
4
4
4
nzl 7
z
teorii
4
4
4
4
8
k
SST = SSW +
n X
X
i (
i −
)2
∑
i 1
=
SSW
k
=
SSW
2
SSW ≅ χ 2 ( n − k), ∑ n X
X
χ 2 ( k
)
1
i (
i −
) ≅
−
k
SST
2
SSW + ∑ n X
X
i=1
i (
i −
)
i=1
X
czyli: E
gdzie:
X + Y
2
n − k 1
2
k − 1 1
X ≅ χ ( n − k) ≅ Γ
; , Y ≅ χ ( k − ) 1 ≅ Γ
; i nzl
2
2
2
2
n − k
X
2
n − k
E
=
=
- patrz: ksiąŜka Wojciecha Otto
X + Y n − k k −1
n −1
+
2
2
Zadanie 4
1
S ≅ Γ n;
µ
E( ˆ µ − µ)2
2
2
2
2
2
2
= ˆ µ
E
− 2 ˆ µ
E
µ
+ µ = n( n + ) 1 µ a − 2 µ an + µ
2
2
2
E ˆ µ = n( n + ) 1 µ a
Eµˆ = anµ
b
2 2
µ n
1
a
= −
=
=
min
2 a
2( n + )
1
2
nµ
n + 1
Zadanie 5
−ln Ui ≅ wykl )1(
− ∑
ln U i ≅ Γ( n )
1
,
n
1
P U
U
P
U
n
P
U
n
1 ⋅ ⋅ ⋅
n ≤
= (∑ln i ≤ − ln3)= (− ∑ln i ≥ ln3) =
3
=
u
4
6
4
7 8
− ∑
2
ln U
n
i −
u
CTG
− x
n ln 3 − n
n ln 3 − n
=
1
P
≥
= 1− P U
1
e 2 dx
0
n ≤
→ −
∫
→
n
n
n
Π
2
−∞
czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa
Zadanie 6
n
n
+
+
1
L = θ [ θ 1
( − θ)] 2
2 3
n
1
n
2
n
2
n
2 3
1
( − θ)
= θ
1
( − θ)
n
ln L = ( n + n θ + n + n
− θ
1
2 )ln
(
2
2
3 )ln 1
(
)
∂
n
n
n
n
n
n
θ
n
n θ
1 +
2
2 + 2 3
( 1 + 2) 1(− ) − ( 2 + 2 3)
=
−
=
= 0 →
∂ θ
θ
1 − θ
θ 1
( − θ)
→ ( n + n + n + 2 n θ = n + n 1
2
2
3 )
1
2
n + n
n + n
1
2
1
2
θ =
=
n + 2 n + 2 n 2 n − n
1
2
3
1
f ′(0) = ∞
θˆ = θ
0 < θ < 1
Zadanie 7
P(
6
1 6 5
5 4
4 3
3 2
2 1
70
35
5
B
B
P B
B i P( i)
1 ∩
2 ) = ∑
( 1 ∩ 2 )
=
+
+
+
+
=
=
=
i=
6 7 6
7 6
7 6
7 6
7 6
252
126
18
1
P(
1 6
5
4
3
2
1
21
1
B
P B i P( i)
1 )
6
= ∑ ( 1 )
= + + + + + =
=
i=
6 7
7
7
7
7
7
42
2
1
5
5
ODP =
⋅ 2 =
18
9
Zadanie 8
∑( Xi− µ)2
−
1
2 2
σ 2
e
∑( Xi− µ)2
2
2 1
σ
10
2
−
1
2
σ 2
= C ⋅
2 1
σ
2 σ 2
e
→ STAT =
X
µ
2
∑( i − )2
∑( Xi− µ)
−
1
2 2
1
e
σ
10
σ 1
test najmocniejszy jednostajnie jest taki sam jak dla 2
σ = 4
0
i
P (
2
(
∑
∑
X
µ
X
i − µ)
−
2
t
> t = P
>
=
→ t =
⋅ =
0
)
(
)
0
,
0 5
18 3
, 07 4
7 ,
3 228
0
4
4
2
2
7 ,
3 228
7 ,
3 228
moc:
P ∑ X
i − µ
>
= P χ
>
≥
→
≤
1 (
(
) 7 ,3228)
1
( 0)
9
,
0 5
9
,
3 4
1
2
2
σ
σ
1
1
7 ,
3 228
σ ≥
≈ 18 5
, 8
1
9
,
3 4
Zadanie 9
2
Z poprzedniego zestawu ∑ n i ( X i − X )
≅ χ( k − )
1
Przez analogię:
1
X =
∑ X n
i
i
∑ w
−
i ( X
X
i
w )2
n
→
≅ χ )
9
(
1
2
X
X
σ
i =
∑ ij
ni
P( 2
χ
9
( ) > b) = ,
0 05 → a = 3,
3 2 ,
5 b = 16 9
, 19 → odpowiedź (B) jest prawidłowa P( 2
χ
9
( ) < a) = ,
0 05
Zadanie 10
P(max( U ,..., U
1
)≤ t) n
= t
n
1
−
f
= n
nt
max
max(
U U
max U ,..., U
U ,..., U
0
0
1
0
n )
>
(
n )
= max( U ,..., U U max U ,..., U
1
n )
0 <
( 1
n )
E(max U 0 ) = E( U U , U
0
0
0 > max( U ,..., U
P max
U
E max U ,.., U
U , U
max U ,.., U
1
n )
(
< 0 )+ (
( 1
n )
0
0 <
( 1
n ) ⋅
⋅ P( U < max
0
( U ,..., U
1
n )
1
n+1
n+1
=
n
n
n
nU
1
n
n U
U P max U ,.., n
U
U
nt
U
U
0
(
( 1
n ) <
0 ) + ∫
+1
0
+1
+
= 0 +
−
=
0
+
=
0
n + 1
n + 1
n + 1
n + 1
n + 1
U 0