Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
200∆
B
0 ⋅
1
,
1 + 0 ⋅ 0
,
1 6 = max( 1
,
1 ⋅ 200 − 200 )
0
;
200∆
B
0 ⋅
8
,
0 5 + 0 ⋅ 0
,
1 6 = max( 8
,
0 5 ⋅ 200 − 200 )
0
;
220∆ + 0
,
1 6 B = 20
0
0
2
→ 50∆ = 20 → ∆ =
1
70∆ + 0
,
1 6 B = 0
0
0
5
0
0
czyli:
2
220 ⋅
+ ,106 B = 20
5
0
,
1 06 B = 20 − 88
0
68
B = −
≈ −64 1
, 5
0
,
1 06
Zadanie 2
Dla długiej pozycji:
Opcja kupna - max( S − X 0
;
T
)
Opcja sprzedaŜy - max( X − S 0
;
T
)
Dla krótkiej pozycji:
Opcja kupna: − max( S − X 0
;
T
)
Opcja sprzedaŜy: − max( X − S 0
;
T
)
SPRAWDZAMY:
a) F ( S ) = (− 2 c + 4 p +
T
p e
NIE
T
+
1
2
3 ) 0,06
.....
b) F ( S ) = (− p + 2 c − 4
T
c e
NIE
T
+
1
2
3 ) 0,06
....
c) F ( S
=
−
+
−
−
+
−
−
−
T )
( p 2 c 4 c e T
X
S
S
X
S
X
1
2
3 ) 0,06
max(
0
;
1
T
) 2max(
0
;
T
2
) 4max(
0
;
T
3
)
1. S < X
T
1
( p 2
4
OK.
1 −
c 2 + c 3 ) 0,06 T
e
− ( X 1 − ST )
2. X ≤ S < X
1
T
2
( p − 2 c + 4 c
OK.
1
2
3 ) 0,06 T
e
3. X ≤ S < X
2
T
3
( p − 2 c + 4 c e T + 2 S − X OK.
1
2
3 ) 0,06
( T
2 )
4. S ≥ X
T
3
( p − 2 c + 4 c
+ 2
−
− 4
−
= −2
− 2
+ 4
+
− 2 + 4
1
2
3 ) 0,06 T
e
( S X
S
X
S
X
X
p
c
c e 0,06
T
2 )
( T
3 )
2
3
( 1
2
3 )
T
T
OK.
czyli odpowiedź C jest prawidłowa
Zadanie 3
PoniewaŜ obie obligacje są takie same to w przypadku obligacji (B) mamy dodatkową moŜliwość konwersji więc cena tej obligacji nie moŜe być mniejsza od ceny obligacji A Dlatego P ( )
0 ≤ P ( )
0
A
B
Zadanie 4
a – ilość obligacji P(0,1)
b – ilość obligacji P(0,2)
c – ilość obligacji P(0,3)
d – ilość obligacji P(0,4)
a,b,c,d – całkowite, mogą być ujemne
1. 0,9a+0,81b+0,729c+0,684d=0 - bo wydajemy 0
Ŝeby nie było arbitraŜu to w kaŜdym wariancie zarobimy 0 tzn.
a + 8
,
0 8 b + 7
,
0 7 c + 7
,
0 d = 0
a + 9,
0 b + 8
,
0 05 c + 7
,
0 5 d = 0
a + 9,
0 2 b + 8
,
0 6 c + xd = 0
10
1. mnoŜymy przez
→ a + 9
,
0 b + 8
,
0 1 c + ,
0 76 d = 0 2.
9
Układ równań rozpisujemy uwzględniając 2.
− 0
,
0 2 b − 0
,
0 4 c − 0
,
0 6 d = 0
6
d = −2 b − 4 c
c
− 0
,
0 05 c − 0
,
0 1 d = 0
→ 1
0 d = 5
− c
→ 16 d = −2 b − 9 c
;
= 2
−
d
0
,
0 2 b + 0
,
0 5 c + ( x − 7
,
0
)
6 d = 0
2 b + 5 c + 100 d ( x − 7
,
0
)
6 = 0
Z tego:
− 2 b − 5 c
16 d + 4
x =
+
c
,
0 76 → x =
+ ,
0 76 = 1
,
0 6 + ,
0 04 ⋅ (−2) + ,
0 76 = 8
,
0 4
100 d
100 d
Zadanie 5
6
4
4
4
4
4
7
A
4
4
4
4
4
8
6
4
4
4
4
7
B
4
4
4
4
8
2 3
2 5
2 7
2 2
2 4
2
ODP = X = v
2 +
v +
v +
v + .... +
v +
v +
v 6 + ....
3
5
7
3
5
7
1 + x
2 3
2 5
2
7
1 + v
z Taylora wiadomo, Ŝe ln
= 2 x + x + x + x + .... d
. la x < 1 → A = ln
1 − x
3
5
7
1 − v
1 2 3
2
5
1
1
1
B =
v
v + v + ... = ( A − 2 v)
+
= ln
− 2 v
v 3
5
v
v 1 − v
1 + v 1 1+ v
1
ODP = ln
+
ln
− 2 v g
dzi
e
v =
→ ODP ≈ ,
6 02 ≈ 6
1 − v v 1− v
,
1 04
Zadanie 6
t
t
t
A t
( ) = ex
p ∫
δ ds
a( s) exp
δ dw ds
s
+
∫
∫
w
0
0
s
t
t
t
1
2
1
A t
( ) = ex
p ∫
ds +
∫
ex
p ∫
dw ds
1 + A( s)
1
1
( )
0
0
+ A w
s
1 + A( s)
t
1
1
A (
′ t) = exp ∫
ds ⋅
+ B (′ t)
1 + (
A s)
1 + (
A t)
0
t
1
exp
dw
t
t
t
∫
2
1
2
1 + A( w)
∫
0
ex
p ∫
dw ds =
∫
ds = B t()
1
1 + A( w)
1
s
0
s
1 +
0 1 +
1
exp
A( s)
A( s)
∫
dw
1 + A( w)
0
t
t
1
1
2
1
B′
t
( ) = ex
p ∫
dw
∫
+
1 + A( w)
1
( )
1
0
+ A t
s
0 1 +
1
exp
A( s)
∫
dw
1+ A( w)
0
t
1
+ exp ∫
2
1
dw
=
1 + A( w)
1
t
0
1+
1
exp
A t
( )
∫
dw
1 + A( w)
0
t
t
=
1
1
2 A( s)
1
2 A t
( )
ex
p ∫
dw
∫
ds +
1+ A( w)
1
( ) 1
( )
1
1
( )
0
+ A t
+ A s
s
+
0
A t
ex
p ∫
dw
1 + A( w)
0
t
t
t
′
1
1
1
1
2 ( )
1
2 ( )
A t
( ) =
A s
A t
ex
p ∫
ds
+
ex
p ∫
dw
∫
+
1 + A( s)
1
( )
1
( )
1
( ) 1
( )
1
1
( )
0
+ A t
+ A w
0
+ A t
+ A s
s
+
0
A t
ex
p ∫
dw
1 + A( w)
0
t
t
t
1
1
2 ( )
1
A t
( ) =
A s
ex
p ∫
ds +
ex
p ∫
ds ∫
ds →
1 + A( s)
1
( )
1
( )
0
+ A s
0
+ A s
s
0
1
ex
p ∫
dw
1 + A( w)
0
1
2 (
A t)
3 (
A t)
→ A (′ t) =
(
A t) +
=
1 + (
A t)
1 + (
A t)
1 + (
A t)
1 + (
A t)
A (
′ t)
= 1
3 (
A t)
∫1+ A
1
1
dA =
ln A +
A
3 A
3
3
∫ d
1 t = t + C
1
1
ln A t
( ) +
A t
( ) = t + C
3
3
A(0)=1
1
C =
3
1
1
1
ln (
A t) +
(
A t) = t +
3
3
3
ln (
A t) + (
A t) = 3 t + 1
i sprawdzamy
A(1)=2,8 L równa się około 3,82
A(1)=2,9 to L równa się około 3,96
A(1)=3 to L równa się około 4,09
Czyli odpowiedź B jest najbliŜej
Zadanie 7
2
3
15
100000 = Pv + ( P − 500) v + ( P − 2 ⋅ 500) v + ... + ( P −14 ⋅ 500) v 2
3
15
100000 = Qv + 2 Qv + 3 Qv + ... + 15 Qv 2
2
3
14
15
100000 = Rv + R ⋅ 1
,
1 v + R ⋅ 1
,
1
v + ... + R ⋅ 1
,
1
v
14
&
&
−14
100000 = Pa − 50 v
0
+ 2 + ... +14
=
− 500
15
( v v 2
v 14 )
a
v
Pa
v 14
15
i
15
&
&
−15
100000 = Q( v + v 2
2
+ ... +1 v 15
5
) a
v
= Q 15
i
15
1
,
1
1 −
1
1
,
1
1
,
1 2
1
,
1 14
1
,
1 07
100000 = R
+
+
+ ...
+
= R ⋅
,
1 07
,
1 072
,
1 073
,
1 0715
,
1 07
1
,
1
1 − ,107
14
1
1 −
,
1 07
14
−
1
,
1 0714
1 −
1
,
1 07
100000 + 500 ⋅ ,107
,
0 07
P =
15
1
1 −
,
1 07
,
0 07
100000 ⋅ ,
0 07
100000
Q =
R =
15
15
1
1
,
1
1 −
1 −
,
1 07
1
−
1
,
1 07
15 ⋅
15
1
,
1 07
,
1 07
1
,
1
1 −
1 −
,
1 07
,
1 07
Z tego:
1 + 14
1 + 15
ODP = 15 P − 500
⋅14 + Q
⋅15 + Rs − 300000 ≈ 235760
2
2
15
Zadanie 8
Cena obligacji 10-letniej:
1
1
1
10800
1
P = 800
+
+ ...
+
+
2
4
10
10
,
1 06
,
1 06
,
1 06
,
1 06
cena obligacji 12-letniej:
1
1
1
10800
P 2 = 800
+
+ ...
+
+
2
4
12
12
,
1 06
,
1 06
,
1 06
,
1 06
KREDYT=0,8(P1+P2)
Wartość kredytu po 3 latach:
3
KR )
3
(
=
(
8
,
0
1
P + P 2) ⋅ ,
1 08
cena sprzedaŜy obligacji:
1
1
1
10800
1
1
1
10800
CO = 800
+
+ ...
+
+
+ 800
+
+ ...
+
+
3
7
7
3
9
9
,
1 05
,
1 05
,
1 05
,
1 05
,
1 05
,
1 05
,
1 05
,
1 05
wartość funduszu po 3 latach:
F = 1600 ⋅ ,
1 07
RO – inwestycja
R1 – zwrot
RO=0,2(P1+P2)
R1=CO+F-KR(3)
1
1
R 3
ODP =
−1 ⋅100
R 0
8
10
1
1
1 −
1 −
800
,
1 05
10800
800
,
1 05
10800
3
1
R =
+
+
+
+1600 ⋅ ,107 −
(
8
,
0
1
P + P 2 ,
1
) 08
2
7
2
9
,
1 05
,
1 05
,
1 05
,
1 05
1
1
1 −
1 −
,
1 05
,
1 05
ODP ≈ 8
,
8 2% ≈ ,
8 7%
Zadanie 9
m – moment pierwszej raty
n – moment ostatniej raty
1.załóŜmy, Ŝe n = ∞ , wtedy:
m
mv + ( m + )
1 m 1
+
v
+ ...
d ( a) =
m
m 1
v +
+
v
+ ...
LICZ = mvm + ( m + ) 1 v m+1 + ...
LICZ ⋅ v = mvm+1 + ( m + ) 1 v m+2 + ...
+1
m
m+1
m+2
m
v m
LICZ ⋅ 1
( − v) = mv + v
+ v
+ ... = mv +
1 − v
+1
m
v m
mv + 1− v
LICZ =
1 − v
v m
MIAN =
1 − v
v
d ( a) = m +
1 − v
wtedy: lim d ( a) = lim d ( a) = ∞
i→0
v→1
z tego wynika, Ŝe n – skończone
WTEDY:
m
m+1
m+ n
mv + ( m + )
1 v
+ ... + ( m + n) v
d ( a) =
m
m+1
m+ n
v + v
+ ... + v
m
m 1
LICZ = mv + ( m + ) 1
+
v
+ ... + ( m + n) m+ n v
m 1
+
m+2
m+ n 1
LICZ ⋅ v = mv
+ ( m + )
1 v
+ ... + ( m + n)
+
v
n
v
m
m+
m+ n
m+ n+
m
m+ 1 −
1
1
1
m+ n 1
LICZ ⋅ 1
( − v) = mv + v
+ ... + v
− ( m + n) v
= mv + v
− ( m + n)
+
v
1 − v
mv m
1
+1 1 − v n
+ +
m
v m n
LICZ =
+ v
− ( m + n)
1 − v
1
( − v)2
1 − v
1 −
+1
m
v n
MIAN = v
1 − v
m
v(1− n
v )
n 1
+
v
d ( a) =
+
− ( m + n)
n 1
1
+
− v
( n 1
1
+
− v )
n 1
1
( − v)
1
+
− v
lim d ( a) = lim d ( a) = m = 11
i→∞
v→0
m 1
( − v) + v(1− vn )− ( m + n) 1
( −
n+1
v v
lim d ( a) = lim d ( a) =
)
lim
i→0
v→1
v→1
(1− n+1
v
)
=
1
( − v)
m + v(1+ v + ... + n−
v 1 )− ( m +
n+1 H
n) v
1 + 2 v + ... +
n−
nv 1 − ( m + n)( n +
n
= lim
=
)
1 v
lim
=
v→1
1 − n+1
v→
v
1
− ( n +
n
)
1 v
1 + n n − ( m + n)( n + )1
2
=
= m + − n
n
= 20 5
,
− ( n + )
1
2
1
11 +
n =
5
,
20
2
22 + n = 41
n = 19
11
1
A = v + ...
30
+ v v =
,
1 08
B = 1 v
5 11 + 14 v 12 + ... + 6 v 20
Bv = 1 v
5 12 + 14 v 13 + ... + 6 v 21
11
12
13
20
21
11
12 1 − v 9
B 1
( − v) = 1 v
5
− v − v − ... − v − 6 v = 1 v 5
− v
− 6 v 21
1 − v
1 v
5 11
1 − v 9
12
6 v 21
B =
− v
−
1 − v
1
( − v)2
1 − v
11 1 − v 20
A = v
1 − v
A + B ≈ 39
Zadanie 10
SP(i) – spłacony kapitał w racie i-tej
KR(i) – kredyt dla i=0,1,...,10
ODP=KR(4)-KR(7)
2
6
KR( )
4 = 5 v + 6 v + ... + 10 v 2
3
KR(7) = 8 v + 9 v + ... + 10 v ODP = 5 v +
2
6 v + ... +
6
10 v − 8 v −
2
9 v −
3
10 v = −3 v −
2
3 v −
3
3 v +
4
8 v +
5
9 v +
6
10 v =
3
= v (
2
3
8 v + 9 v + 10 v )− (
2
3
3 v + v + v )
A = v
8 + 9 v 2 + 10 v 3
Av = v
8 2 + 9 v 3 + 10 v 4
2
3
v 2
4
(1− v 2)
A 1
( − v) = v
8 + v + v −10 v = v 8 +
−10 v 4
1 − v
v
8 + v 2 1
( + v) −10 v 4
v
8 + v 2 + v 3 −10 v 4
A =
=
1 − v
1 − v
( v 8 + v 2
3
+ v 3 −10 v 4 )1
( + i)
(1− v 3)1(+ )
ODP = v
−
i
v
3
=
i
i
= 1[
1
3
v (8 + v + 2
v −
3
10 v )− (
3 1 − 3
v )]= [ 3
8 v + 4
v + 5
v −
6
10 v − 3 +
3
3 v ]=
i
i
= 1[ 3
2
3
3
2
3
3
1
v (8 + v + v −10 v + 3)− ]
3 = [ v ( v + v + v −1 v 1
+1 )
1 − ]
3 ⋅ =
i
i
= [ 3
2
3
2
1
3
2
2
1
v ( v + v + v +11 1
( − v)(1+ v + v ) − ]
3 ⋅ = [ v ( v(1+ v + v )+11 1
( − v)(1+ v + v ) − ]
3 ⋅ =
i
i
= [ 3
2
1
3
2
3
1
v (1+ v + v )( v +11 1
( − v)) − ]
3 ⋅ = [ v ( v + v + v )( 1
( + i 1
) 1 −10) − ]
3 ⋅ =
i
i
= [ 3
1
v a 1
( i
1 + )
1 −
⋅
3
]3 i