Egzamin dla Aktuariuszy z 9 grudnia 2000 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
n
t
n
&
&
1
(
) &
&
I
. L = å s
i s
t +
+
t
= å 1(+ 1(+ t
i) ) = n + s&
&
T
AK
n
1
s
t =
&
& t
t =1
1
( m)
1
( m)
1
( m)
1
II . NIE b
o z
akladamy z
e :
( m)
+ d
=
+ i
→
+ d
=
+ i
→
( m)
( m)
s&
&
s
i
i
n
n
s
s
( m)
n
( m)
n
d
i
é
ù
é
ù
( m)
1
( m)
1
→ d ê
+1ú = i ê
+1
( m)
( m)
ú → d
= i
→ SPRZECZNOŚĆ
ë is
is
n
û
ë n
û
t
δ
III . T
AK b
o : i = å
∞
= eδ − (
1 Taylor) b
o eδ = 1 + i
t
t =
!
1
Zadanie 2
æ C − S ö
X : Rt =
t −
çç
(1+
÷÷
i) 1
è sn ø
C − S
Y : R =
n
C − S ⋅
Z : Rt = ( n − t + ) (
) 2
1 n( n + )1
10
X
1000
W 1
X
1
(
i) t
10 =
å −
−
+ −1
s
t =1
20
Y −1000
W 2
Y
10
10 =
−
20
10 (21 t)( Z 1000) 2
W 3
Z
10 =
− å
−
−
⋅
t =
20 21
1
⋅
Z tego wynika:
X −1000
W 1
= X −
⋅ s = 3700
10
10
s 20
Y −1000
W 2
= Y −
= 3800
10
2
( Z −1000) ⋅ 2 é
1 + 10
ù
W 3
= Z −
21⋅10 −
⋅10 = 3900
10
ê
ú
20 ⋅ 21
ë
2
û
Stąd wynika, Ŝe: X ≈ 474 , 0 Y ≈ 660 ,
0 Z ≈ 12072 → X < Y < Z
Chyba błąd bo nie wychodzi - brak rozwiązania Zadanie 4
Nonsens, startując z zera wszystkie δ
s = 0
Z tego wynika, Ŝe albo błąd albo odpowiedź E jest prawidłowa.
Zadanie 5
v + 2 2
v + .... + 10 10
d =
v
= 5
,
5
→ v + 2 2
v + ... + 10 10
v
−
v + v +
+ v = →
2
10
(5
,
5
2
...
10 ) 0
v + v + ... + v
→
(5
,
0
6
5
v − v )+
(5
,
1
7
4
v − v )+
(5
,
2
8
3
v − v )+
(5
,
3
9
2
v − v )+
(5
,
4
10
v
− v)= 0
n
v < m
v d
la n
>
m b
o v < d
1 la i
≠ 0 → i = 0
dla i=0,01
a&
&
−10 10
v
d 1
10
=
≈ ,
5 417
ia
10
d − d 1 ≈ , 0 08
Zadanie 6
Zakładamy, Ŝe co miesiąc tworzymy: M t = 7
,
3 t − 3
,
0 7 2
t + 3
M 1 t = 9
,
0 t − 0
,
0 9 2
t + 1
,
3 7
,
0 74
3
,
0 7
M t − M
=
−
t +
1
t −
12
12
144
12
9
,
0
1
,
0 8
,
0 09
M 1 t − M 1
=
−
t +
1
t −
12
12
144
12
− 1
10
10
12
K = 3 + å M
M
t
v
M
v
t −
,
3 7
,
0 74
3
,
0 7
3
t
1
= + å æ
ö
ç
−
+
÷ −
10
t −
10− 1
1
1 è 12
12
144 ø
t =
12
t =
12
12
12
− 1
10
10
12
K 1 = 1 + å M 1
M
t
v
M
v
t −
9
,
0
1
,
0 8
,
0 09
1
1
t
1
1
= + å æ
ö
ç
−
+
÷ −
10
t −
10− 1
1
1 è 12
12
144 ø
t =
12
t =
12
12
12
10−
2
12 æ 8
,
2
5
,
0 6
,
0 28
æ
ö t
æ
1 ö
æ
1
ö
ö
K − K 1 = 2
ç
+ å ç
−
t +
÷ v − ,
3 7ç10 −
÷ − 3
,
0 7ç10 −
÷ + 3 10
÷ v +
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
1
12
12
144
12
12
t =
è
ø
12
2
æ
æ
1 ö
æ
1
ö
ç
ö
+
9
,
0 ç10 −
÷ − ,
0 09ç10 −
÷ +1 10
÷ v ≈ ,405
ç
è
12 ø
è
12
÷
è
ø
ø
Zadanie 7
(ì12⋅ 9,
0 2 − )
3 an − K = 100
(í
→
î 15⋅ 8
,
0 8 − 4)
z teg
o wyznacza y
m K
a
i n
− K = 120
( P⋅ 8,
0 − 8
,
0 ) a
n − K = 0 → P =
8
,
3
Zadanie 8
ODP = 5
,
0 I
2
30
I = 30 3
( 0 + )
1 v + 2 (
9 29 + )
1 v + ... + 1
(
1 + )
1 v
2
31
Iv = 30 3
( 0 + )
1 v + ... + 1
(
1 + )
1 v
D = I ( v − ) 1 = 2 ⋅ 3 v
0 2 + 2 ⋅ 2 v
9 3 + ... + 2 ⋅ v
2 30 + 2 ⋅ v
1 31 − 30 ⋅ 3 v
1 = v
2 [3 v
0 + 2 v
9 2 + ... + v 30 ]− 30 ⋅ 3 v 1
Oznaczamy nawias kwadratowy jako X: Xv = 3 v
0 2 + 2 v
9 3 + ... + v 31
X ( v − )
1 = v 2 + v 3 + ... + v 30 + v 31 − 3 v 0
v( a − 30
30
)
X =
v −1
2 2
v ( a − 30
30
)−30⋅31 v
v − 1
ODP =
⋅ 5
,
0
≈ 3450
v −1
Zadanie 9
A - poŜyczka
Y - rata półroczna
(2)
i
i =
2
1 + i = 1
( + i )2
ef
ief = 1
( + i)0,5 −1
= A
16; i
A
X (
a
0,5
1 + 1
( + i)
)
16;
= Y → X
i
=
0,5
1 + 1
( + i)
A
a 32;
X 1
i
=
0,5
1 + 1
( + i)
2
X ⋅
= X 1 → wyznaczamyi (2)
→ i = 2 i ≈ 8
,
8 5%
3
Zadanie 10
Brakuje informacji, Ŝe obligacja jest 10-letnia 50
50
1000
P =
+ ... +
+
0,25
10
10
1
,
1
1
,
1
1
,
1
2 X = 200 ⋅10 + 1000 → X = 1500
X + X = P →1500 vt + v = P → t ≈
t
t 1
+
(1 )
7
,
5 2
1
,
1
1
,
1