AM2 pd.6 2011/12
Zad.1 (obliczanie pochodnych cząstkowych)
a) Wykazać, że funkcja
z
y
y
x
x
z
y
x
f
)
,
,
(
spełnia równanie
0
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
.
b) Sprawdzić, że funkcja
2
cos
2
)
,
(
2
x
y
y
x
f
spełnia równanie
0
)
,
,
(
)
,
(
2
z
y
x
f
y
x
f
xy
xx
.
c) Sprawdzić, że zachodzi równość
z
y
f
y
z
f
2
2
dla funkcji
z
y
x
z
y
x
f
)
,
,
(
.
Zad.2
a) Wyznaczyć kąt między gradientami funkcji
2
2
ln
)
,
(
y
x
x
y
x
f
w punktach
)
0
,
1
(
A
)
1
,
0
(
B
(wsk. kąt wektorów obliczamy ze wzoru znanego z algebry
v
u
v
u
cos
).
b) Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
2
2
ln
)
,
(
y
x
x
y
x
f
w punkcie
)
1
,
0
(
B
.
Zad.3
Obliczyć różniczkę zupełną pierwszego rzędu dla funkcji
y
x
y
x
f
arcsin
)
,
(
w punkcie
)
2
,
1
(
.
Zad.4
Napisać wzór Taylora dla funkcji
y
x
y
x
f
)
,
(
w punkcie
)
1
,
(e
z 3-cią resztą.
Zad.5
a) Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
02
,
1
)
02
,
1
96
,
0
1
(
zastępując przyrost odpowiednio
dobranej funkcji jej różniczką zupełną.
b) Obliczyć jak zmieni się w przybliżeniu długość przekątnej prostokąta o bokach
3
a
cm,
4
b
cm
jeżeli bok a zwiększymy o 3mm, a bok b zmniejszymy o 4mm.
Zad.6
Napisać wielomian Maclaurina stopnia drugiego dla funkcji
y
x
y
x
arctg
y
x
f
1
1
)
,
(
(tzn. wielomian Taylora stopnia drugiego w punkcie
)
0
,
0
(
).
Odpowiedzi, wskazówki
zad.1 c)
z
y
x
yz
y
x
y
z
f
z
ln
1
3
2
.
Zad.2
a) gradienty tworzą kąt
4
.
0
,
1
)
0
,
1
(
gradf
,
1
,
1
)
1
,
0
(
gradf
,
2
2
2
1
1
0
cos
.
b)
1
y
x
z
.
Zad.3
dy
dx
dy
dx
df
3
2
1
3
1
,
1
,
2
1
Zad.4
)
1
,
)(
,
(
!
3
1
2
2
2
1
)
1
,
)(
,
(
!
3
1
)
1
(
)
1
)(
(
2
)
(
0
2
1
)
1
(
3
2
3
2
2
y
e
x
y
x
f
d
ey
xy
ey
e
y
e
x
y
x
f
d
y
e
y
e
x
e
x
y
e
x
x
c
c
c
c
y
Punkt
)
,
(
c
c
y
x
, jest to punkt leżący na odcinku o końcach
1
,
e
,
)
,
(
y
x
.
