Am2 pd.11
zad.1
Obliczyć z definicji pochodną kierunkową funkcji
y
x
y
x
f
3
)
,
(
w punkcie
)
2
,
1
(
0
P
w kierunku wersora
dwusiecznej pierwszej ćwiartki.
Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie
)
2
,
1
(
0
P
.
Zad.2
Obliczyć pochodną kierunkową funkcji
2
,
,
x
y
z
y
x
f
z
w punkcie
)
2
,
,
1
( e
P
w kierunku wektora
2
,
1
,
2
v
.
Wyznaczyć kierunek najszybszego spadku funkcji f w punkcie
)
2
,
,
1
( e
P
.
zad.3 Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach
a)
dxdy
y
x
D
2
2
1
]
1
,
0
[
]
2
,
1
[
D
b)
dxdy
y
x
xy
D
ln
]
2
,
1
[
]
,
1
[
e
D
zad.4 Zmienić kolejność całkowania, naszkicować obszar całkowania
a)
2
6
2
1
4
2
)
,
(
x
x
dy
y
x
f
dx
b)
0
2
0
4
2
)
,
(
y
dx
y
x
f
dy
c)
1
0
1
1
2
)
,
(
y
y
dx
y
x
f
dy
d)
3
1
2
/
)
3
(
0
1
0
0
)
,
(
)
,
(
2
x
x
dy
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dx
e)
2
1
3
4
1
0
1
0
0
2
)
,
(
)
,
(
x
x
x
dy
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dx
zad.5 Naszkicować obszar całkowania, zmienić kolejność całkowania
a)
0
1
)
,
(
x
e
e
x
dy
y
x
f
dx
, b)
1
1
1
ln
)
,
(
e
x
x
dy
y
x
f
dx
, c)
e
e
x
x
dy
y
x
f
dx
1
ln
)
,
(
.
zad.5 Obliczyć całki
a)
D
ydxdy
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi
2
2
1
1
,
1
,
1
,
2
y
x
y
y
x
y
.
Wskazówka:
=1, opisz obszar względem osi Oy.
b)
P
dxdy
y
x
x
)
,
min(
]
3
,
1
[
]
2
,
1
[
P
.
zad.6
Obliczyć średnią całkową funkcji
)
(
4
1
1
)
,
(
2
2
y
x
y
x
f
w obszarze ograniczonym podanymi liniami
1
,
0
,
1
,
1
x
x
y
y
. Podać interpretację geometryczną otrzymanej średniej całkowej.
Zad.7
Obliczyć całkę
x
dy
y
x
dx
1
0
2
2
1
0
)
(
. Narysować bryłę, której objętość jest równa tej całce.
zad.8
Obliczyć całkę
dxdydz
x
z
V
4
2
gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami
1
2
y
z
,
0
z
,
0
x
,
2
x
. Naszkicować obszar całkowania V.
Zad.9
Am2 pd.11
Obliczyć całkę
V
ydxdydz gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami
2
1
,
,
0
x
y
y
z
z
. Naszkicować obszar całkowania V.
Odp.
zad.1
8
2
7
, kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie
)
2
,
1
(
0
P
wskazuje gradient funkcji w
tym punkcie
4
1
,
2
3
)
2
,
1
(
gradf
.
Oczywiście można podać wektor równoległy i zgodnie skierowany z gradientem .
Zad.2
)
1
(
3
2
)
2
,
,
1
(
e
e
e
i
f
v
kierunek najszybszego spadku funkcji f w punkcie
)
2
,
,
1
(
0
e
P
wskazuje kierunek
2
2
,
2
,
2
)
2
,
,
1
(
e
e
e
e
gradf
.
Zad.3 a)
4
3
, b)
)
1
(
2
ln
4
3
2
2
e
e
.
Zad.4
a)
8
0
2
1
2
0
1
1
2
1
2
2
6
2
1
4
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
y
y
y
y
x
x
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dy
dy
y
x
f
dx
;
b)
0
4
0
4
0
2
0
4
)
,
(
)
,
(
2
x
y
dy
y
x
f
dx
dx
y
x
f
dy
;
c)
2
1
2
0
1
0
0
1
0
1
1
2
2
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
x
x
y
y
dy
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dx
dx
y
x
f
dy
;
d)
y
y
x
x
dx
y
x
f
dy
dy
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dx
2
3
1
0
3
1
2
/
)
3
(
0
1
0
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
;
e)
1
0
2
2
2
1
3
4
1
0
1
0
0
2
2
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
y
y
x
x
x
dx
y
x
f
dy
dy
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dx
.
Zad.5
a)
1
1
0
ln
1
0
0
0
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
e
y
e
ey
e
e
x
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dy
dy
y
x
f
dx
x
,
b)
e
y
e
e
e
e
x
x
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dy
dy
y
x
f
dx
y
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
ln
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
c)
e
y
x
e
e
e
y
e
e
e
e
e
x
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dy
dy
y
x
f
dx
ln
1
1
1
0
1
1
ln
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
.
Zad.5 a)
7
3
3
15
2
wsk.
2
1
1
2
1
1
y
y
D
ydx
dy
ydxdy
, b)
2
11
.
Am2 pd.11
Zad.6
6
5
Zad.7
6
1 , całka jest równa objętości bryły ograniczonej powierzchnią paraboloidy
2
2
y
x
z
i
płaszczyznami
x
y
z
y
x
1
,
0
,
0
,
0
.
Zad.8
15
Zad.9
105
32