Am2 pd.9 2011/12
Zad.1
Zbadać czy w otoczeniu punktu (0,0) istnieje jednoznacznie określona funkcja
)
(x
f
y
rozwikłująca równanie
0
)
1
ln(
2
2
2
2
y
x
y
x
.
Zad.2
W otoczeniu jakich punktów istnieje jednoznacznie określona funkcja
)
(x
f
y
rozwikłująca
równanie
0
ln
2
2
x
y
arctg
y
x
.
Zad.3
(punkt a)zrobiony na ćwiczeniach)
a) Wyznaczyć w punkcie
e
2
wartość pierwszej i drugiej pochodnej funkcji
)
(x
f
y
określonej równaniem
0
1
ln
y
xy
jeżeli
e
e
f
2
. Naszkicować na tej podstawie wykres
tej funkcji w otoczeniu tego punktu.
b) Sprawdzić, otrzymane w punkcie a) wyniki szkicując wykres funkcji
y
y
y
g
x
1
ln
)
(
w
otoczeniu punktu e.
zad.4
Obliczyć
)
(
),
(
e
f
e
f
jeżeli
1
)
(
e
f
i funkcja
)
(x
f
y
jest uwikłana równaniem
0
2
2
y
e
y
x
.
Napisać równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
e
x
0
.
zad.5
Wyznaczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji
)
(x
f
y
rozwikłującej równanie
a)
x
y
xarctg
y
2
, b)
0
ln
2
2
x
y
arctg
y
x
.
Otrzymane wyrażenia sprowadzić do najprostszej postaci.
Zad.6
Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej
)
(x
y
y
określonej równaniem
a)
0
3
4
2
2
2
x
yx
y
b)
0
4
2
2
2
2
y
xy
y
x
c)
0
2
2
2
2
2
2
2
y
x
a
y
x
(lemniskata Bernoullego)
zad.7
)
,
,
(
z
y
x
f
f
Przekształcić wyrażenie
z
f
y
f
x
f
wprowadzając nowe zmienne
x
u
1
,
x
y
u
2
,
x
z
u
3
.
Zad.8
)
,
(
y
x
F
F
Przekształcić wyrażenie wprowadzając nowe zmienne u, w
a)
y
F
y
x
F
x
;
x
u
,
x
y
w
b)
2
2
2
2
2
1
y
F
a
x
F
;
ay
x
u
,
ay
x
w
gdzie a oznacza stałą dodatnią.
Zad.9
Przekształcić wyrażenie
y
F
y
x
F
x
wprowadzając współrzędnych biegunowe.