X Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona. Całkowanie przez części i przez podstawianie.

Definicja

Mówimy, że funkcja różniczkowalna
jest funkcją pierwotną funkcji
, gdy
dla każdego I.

Twierdzenie

Załóżmy, że F₀ jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji
. Funkcja
jest funkcją pierwotną funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała
taka, że

dla każdego
.

Definicja

Jeśli funkcja
posiada przynajmniej jedną funkcję pierwotną
, to ogólną postać F(x)+C ,
funkcji pierwotnej funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy przez
albo
. Zatem
=F(x)+C, gdzie C jest dowolną stałą.

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeśli
są funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz istnieje całka nieoznaczona jednej z funkcji
i
, to istnieje całka nieoznaczona drugiej z tych funkcji oraz zachodzi wzór

.

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawianie)

Załóżmy, że
oraz
gdzie
są przedziałami niezdegenerowanymi. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna na I oraz funkcja g ma całkę nieoznaczoną na J, to funkcja
ma całkę nieoznaczoną na I oraz zachodzi wzór

.