VI Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych (tw. Weierstrassa, jednostajna ciągłość) i na zbiorach spójnych (własnośc Darboux).

Definicja

Niech
,
będą p-niami metrycznymi. Mówimy, że funkcja
jest jednostajnie ciągła na zbiorze X, gdy

.

(każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła, ale odwrotnie tak nie musi być )

(zaprzeczenie tego warunku
).

Przykład (funkcja jest ciągła ale nie jest jednostajnie ciągła)

określona następująco

.

Niech

Wówczas

Zatem f(x) nie jest jednostajnie ciągła.

Definicja

Niech
- p-ń metryczna. Niech
i
. Powiemy, że f jest ograniczona jeśli f(D) jest ograniczony tzn,

.

Twierdzenie Weierstrassa

Załóżmy, że D jest zwartym podzbiorem p-ni metrycznej oraz
jest funkcją ciągłą. Wtedy funkcja f jest ograniczona i osiąga na zbiorze D swoje kresy, tzn.

oraz
.

Twierdzenie

Niech X,Y- p-nie metryczne. Niech
będzie zwarty i
ciągła na D to f(D) jest zwarty.

Twierdzenie

Załóżmy, że
,
są p-niami metrycznymi przy czym p-ń X jest zwarta. Wówczas funkcja
ciągła na X jest jednostajnie ciągła na X.

Definicja

Niech
- p-ń metryczna i
. f ma własność Darboux jeżeli

.

Twierdzenie Darboux

Niech
- p-ń metryczna.

X jest spójna wtedy i tylko wtedy gdy każda funkcja
ciągła ma własność Darboux.

Twierdzenie

Niech
- p-ń metryczna i X spójna,
ciągła, wówczas f(x) jest zbiorem spójnym.