XIX Macierze, działania, rząd macierzy. Wyznaczniki i ich obliczanie. Układy równań liniowych i ich rozwiązywanie. Twierdzenia: Cramera i Kroneckera-Capelliego.

Definicja

Niech
i niech D będzie dowolnym zbiorem niepustym. Każda funkcja
nazywamy macierzą o m-wierszach i n-kolumnach. Będziemy oznaczać

lub krócej

Zbiór wszystkich macierzy o wartościach na zbiorze D oznaczamy symbolem
.

Definicja

Niech
. Macierz
nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A.

DZIAŁANIA W ZBIORZE MACIERZY

Niech
będzie dowolnym ciałem
oraz
,
definiujemy

oraz

.

Definicja

Niech F będzie dowolnym ciałem i
. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
nazywamy element ciała F zdefiniowany następująco:

gdzie
jest permutacją liczb 1,2,3,…,n. J jest ilością inwersji w tej permutacji.

Definicja

Minorem macierzy
nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z A przez skreślenie pewnej ilości jej wierszy lub kolumn bądź wierszy i kolumn.

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW

Twierdzenie

Niech
. Wówczas
.

Twierdzenie

Niech
. Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy a złożona jest z samych zer, to detA=0.

Twierdzenie

Niech
. Jeżeli macierz
powstaje z macierzy A poprzez zamianę kolejności pewnych jej wierszy (kolumn), to detA = -detB.

Twierdzenie

Niech
. Jeżeli macierz A ma dwa identyczne wiersze (kolumny) to detA=0.

Twierdzenie

Niech
i
. Jeżeli każdy element pewnego wiersza (kolumny) macierzy A pomnożymy przez
, a otrzymaną w ten sposób macierz oznaczymy przez B, to detB=czeta.

Twierdzenie

Niech
i
. Wówczas dla dowolnego

Twierdzenie

Niech
. Wyznacznik macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli do jednego z jej wierszy (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez pewien ustalony element
.

Twierdzenie (uogólnione tw. Laplace'a)

Niech
oraz
. Wówczas

czyli suma iloczynów elementów k-tej kolumny przez dopełnienia algebraiczne s-tej kolumny, to wyznacznik macierzy A jeżeli k=s oraz zero w p.p.

Twierdzenie Laplace'a

Niech
.
. Wówczas

(*)

czyli wyznacznik macierzy A to suma iloczynów ustalonego wiersza (kolumny) przez dopełnienie algebraiczne elementów tego wiersza (kolumny).

Definicja

Niech F będzie dowolnym ciałem i niech

(*)

Nazywamy układem m-równań liniowych z n-niewiadomymi
.

Macierz A nazywamy macierzą układu (*) zaś macierz

macierzą uzupełnioną układu (*).

Ostatnią kolumnę macierzy A_Y nazywamy kolumną wyrazów wolnych. Jest to podobnie jak pozostałe kolumny macierzy A_Y element p-ni
. Kolumnę wyrazów wolnych macierzy A oznaczać będziemy najczęściej symbolem Y. Jeżeli
, to układ (*) nazywamy jednorodnym.

Definicja

Układ równań liniowych (*)
nazywamy układem Cramera, jeżeli m=n i
.

Twierdzenie Cramera

Każdy układ Cramera
posiada dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest wektorem
. Inaczej jedynym rozwiązaniem układu Cramera jest wektor
, gdzie
.

Definicja

Rzędem macierzy
nazywamy wymiar PL generowanej przez jej kolumny. Oznaczmy go symbolem RzA. Tak więc

gdzie
- kolumny.

WŁASNOŚCI RZĘDU MACIERZY

Twierdzenie 1

(czyli A jest macierzą złożoną z samych zer ciała F).

Twierdzenie 2

Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli dokonamy dowolnej permutacji jej kolumn.

Twierdzenie 3

Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli jedną z jej kolumn pomnożymy przez element
.

Twierdzenie 4

Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli do jednej z jej kolumn dodamy kombinacje pozostałych kolumn.

Twierdzenie 5

Rząd macierzy
równy jest najwyższemu ze stopni różnych od zera minorów tej macierzy.

Twierdzenie 6

.

Twierdzenie 7

.

Twierdzenia 2, 3, 4 są również dla wierszy.

Twierdzenie 8

.

TWIERDZENIA KRONECKERA-CAPELLIEGO

Weźmy pod uwagę układ równań liniowych

(*)

który można zapisać w postaci

(*)
.

Twierdzenie 1

Na to by układ (*) miał rozwiązanie potrzeba i wystarcza, by
.

Twierdzenie 2

Załóżmy, że w układzie (*)
oraz
jest niezerowym minorem stopnia r-tego macierzy A. Wówczas układ (*) jest równoważny układowi (#) powstałemu z (*) przez opuszczenie wszystkich tych równań, których współczynniki nie wchodzą w skład macierzy C.