VII Pojęcie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej - interpretacja fizyczna i geometryczna.

Definicja

Niech
gdzie
oraz niech

a). funkcję
daną wzorem

(*)

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x. Liczba h=t-x oznacza przyrost argumentu, zaś liczba f(t)-f(x) jest odpowiednim przyrostem funkcji

b). granicę

(**)

o ile istnieje i jest skończona nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x i mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x (inaczej
)

c). jeśli
oraz
istnieje w każdym punkcie
, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze A.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA POCHODNEJ

Wartość ilorazu różnicowego
jest współczynnikiem kierunkowym c siecznej przechodzącej przez punkty
i
wykresem funkcji f.

INTERPRETACJA FIZYCZNA

Jeżeli s(t) oznacza współrzędną punktu poruszającego się po prostej w chwili t, to prędkość średnia punktu w przedziale czasowym
jest równa
.

Pochodna
jest jako granica prędkości średniej, prędkością chwilową rozważanego punktu w chwili t₀.

Pochodna
jest przyśpieszeniem punktu w chwili t₀.