XI Całka oznaczona funkcji ograniczonej na [a,b]. Własności funkcji całkowalnych w sensie Riemanna. Twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania. Twierdzenie o wartości średniej dla całek.

Niech dany będzie przedział [a,b] oraz
. Rozważmy punkty
takie, że

.

- podział przedziału [a,b]

- średnica

- i-ty punkt pośredni

Definicja

Niech f będzie funkcją ograniczoną na [a,b]. Całkę oznaczoną Riemanna funkcji f na [a,b] definiujemy następująco:

.

Twierdzenie (liniowość całki)

Niech
oraz
. Jeśli f,g są całkowalne na [a,b], to

a).

b).
.

Twierdzenie (monotoniczność całki)

Jeśli funkcje rzeczywiste
są całkowalne w sensie Riemanna na [a,b] oraz
dla każdego
, to
.

Twierdzenie (addytywność względem przedziału)

Niech
i
. Jeżeli f jest całkowalna na [a,b], to

(*)
.

Twierdzenie

Niech
jest całkowalna na [a,b], to
.

Twierdzenie (o równości całek)

Jeżeli
jest całkowalna na [a,b] oraz funkcja g różni się tylko od funkcji f w skończonej liczbie punktów tego przedziału, to funkcja g jest całkowalna na [a,b] oraz

.

Twierdzenie (Newtona-Leibniza)

Jeżeli f jest całkowalna na [a,b] oraz f jest funkcją pierwotną f na [a,b], to

.

Twierdzenie (o funkcji górnej granicy całkowania)

Niech
całkowalna na [a,b]. Określmy funkcję górnej granicy całkowania wzorem

dla

Wówczas

a). funkcja F spełnia warunek Lipschitza na [a,b](zatem jest jednostajnie ciągła na [a,b]).

b). jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie
to funkja F jest różniczkowalna w x₀ oraz
.

Warunek Lipschitza

Niech
. Mówimy, że funkcja f spełnia w-k Lipschitza ze stałą C>0, gdy

.

Twierdzenie (o wartości średniej dla całek)

Załóżmy, że
jest funkcją ciągłą, zaś funkcja g jest całkowalna w sensie Riemanna na [a,b] oraz nieujemna na [a,b] lub niedodatnia na [a,b]. Wówczas

.

---