Strona | 1
CAΕKA NIEOZNACZONA
Definicja caΕki nieoznaczonej i funkcji pierwotnej
Niech π(π₯) bΔdzie okreΕlona w przedziale π, funkcjΔ π(π) nazywamy funkcjΔ
pierwotnΔ
funkcji π(π₯) na danym przedziale π, jeΕΌeli β π₯ β π speΕniony jest
warunek πΉβ²(π₯) = π(π₯).
FunkcjΔ
pierwotnΔ
nazywamy teΕΌ caΕkΔ
w sensie Newtona, na jej obliczanie
caΕkowanie. JeΕΌeli funkcja ma w pewnym przedziale funkcjΔ pierwotnΔ
to
mΓ³wimy, ΕΌe jest ona caΕkowalna w sensie Newtona. CaΕkowanie jest
odwrotnoΕciΔ
rΓ³ΕΌniczkowania.
πΉ
β²
(π₯) = π(π₯)
ππΉ
ππ₯
= π(π₯)
β« ππΉ = π(π₯)ππ₯
πΉ(π₯) + πΆ = β« π(π₯) ππ₯
β« π(π₯) ππ₯ = πΉ(π₯) + πΆ
πΉ
β²
(π₯) = π(π₯)
NiektΓ³re wΕasnoΕci caΕek
β«[π(π₯) + π(π₯)] ππ₯ = β« π(π₯) ππ₯ + β« π(π₯) ππ₯
β« π β π(π₯) ππ₯ = π β β« π(π₯) ππ₯
β«
πβ²(π₯)
π(π₯)
ππ₯ = ln|π(π₯)| + πΆ
Strona | 2
CaΕkowanie przez podstawienie
β« π(π₯) ππ₯ = (
π₯ = π(π‘)
ππ₯ = πβ²(π‘)ππ‘
) = β« π(π(π‘))πβ²(π‘) ππ‘
π
β²
(π₯) =
ππ
ππ₯
π
β²
(π₯)ππ₯ = ππ
ππ(π₯) = π
β²
(π₯)ππ₯
Podstawienie uniwersalne
tan
π₯
2
= π‘
ππ₯ =
2
1 + π‘
2
ππ‘
sin π₯ =
2 sin
π₯
2 cos
π₯
2
sin
2
π₯
2 + cos
2
π₯
2
=
2
sin
π₯
2
cos
π₯
2
sin
2
π₯
2
cos
2
π₯
2
+ 1
=
2π‘
π‘
2
+ 1
cos π₯ =
cos
2
π₯
2 β sin
2
π₯
2
cos
2
π₯
2 + sin
2
π₯
2
=
1 β
sin
2
π₯
2
cos
2
π₯
2
1 +
sin
2
π₯
2
cos
2
π₯
2
=
1 β π‘
2
1 + π‘
2
CaΕkowanie przez czΔΕci
β« π’ ππ£ = π’π£ β β« π£ ππ’
β« π’
ππ£
ππ₯
ππ₯ = π’(π₯)π£(π₯) β β« π£
ππ’
ππ₯
ππ₯
β« π’(π₯) β π£β²(π₯)ππ₯ = π’(π₯)π£(π₯) β β« π£(π₯) β π’β²(π₯)ππ₯
π
ππ₯
β« π’(π₯) β π£β²(π₯)ππ₯ =
π
ππ₯
(π’(π₯)π£(π₯) β β« π£(π₯) β π’β²(π₯)ππ₯)
π’ β π£
β²
= π’
β²
(π₯) β π£(π₯) + π£β²(π₯) β π’(π₯) β π£(π₯) β π’
β²
(π₯)
π’ β π£
β²
= π’(π₯) β π£β²(π₯)
πΏ = π