1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WYKŁAD 10 

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 

Def. 

Otoczeniem O(P

0

,r) punktu P

0

 przestrzeni 



 nazywamy zbiór: 





,       



:  



,     

Sąsiedztwem S(P

0

,r) punktu P

0

 przestrzeni 



 nazywamy zbiór: 





,     



,  \



 

 
 
Def. 

Funkcją  f  dwóch  zmiennych  określoną  na  zbiorze 

  



o  wartościach  w 

  nazywamy 

przyporządkowanie  kaŜdemu  punktowi  ze  zbioru  A  dokładnie  jednej  liczby  rzeczywistej.  Funkcję 
taką oznaczamy przez 

:    
 lub    ,  . 

 
Funkcją  f  trzech  zmiennych  określoną  na  zbiorze 

  



o  wartościach  w 

  nazywamy 

przyporządkowanie  kaŜdemu  punktowi  ze  zbioru  A  dokładnie  jednej  liczby  rzeczywistej.  Funkcję 
taką oznaczamy przez 

:    
 lub    , ,  . 

 
 
Def. 

Ciąg 

punktów 



 

 !

"

#

, 



#

, … , 



#

%  przestrzeni  



 jest 

zbieŜny 

do 

punktu 

 



&

 !

"



, 





, … , 





% tej przestrzeni, jeŜeli odległość 



,   dąŜy do zera, gdy '  ∞: 

lim

#,



 

 

&

 

 
 
Def. (Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie) 

Niech 





, 



  



oraz  niech  funkcja  f  będzie  określona  przynajmniej  na  sąsiedztwie 





, 



. 

Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie 





, 



, co zapisujemy: 

lim

-,. -

/

,.

/

,     0, 

wtedy i tylko wtedy, gdy: 

1

!-

2

,.

2

%

  34 lim

#,



#

, 

#

   



, 



5 6 7 lim

#,



#

, 

#

   089. 

 
 
Def. (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie) 

Niech 





, 



  



oraz  niech  funkcja  f  będzie  określona  przynajmniej  na  sąsiedztwie 





, 



. 

Funkcja f  ma granicę niewłaściwą 

∞ w punkcie 



, 



, co zapisujemy: 

lim

-,. -

/

,.

/

,     ∞, 

wtedy i tylko wtedy, gdy: 

1

!-

2

,.

2

%

  34 lim

#,



#

, 

#

   



, 



5 6 7 lim

#,



#

, 

#

   ∞89. 

 
Uwaga!!! 
Nie  ma  odpowiednika  reguły  de  L’Hospitala  do  obliczania  granic  wyraŜeń  nieoznaczonych  funkcji 
dwóch i trzech zmiennych. 

3 

 

Def.  

Niech 





, 



  



oraz  niech  funkcja  f  będzie  określona  przynajmniej  na  otoczeniu 





, 



. 

Funkcja f  jest ciągła w punkcie 





, 



 wtedy i tylko wtedy, gdy  

lim

-,. -

/

,.

/

,     



, 



 

Funkcja  f    jest  ciągła  w  pewnym  zbiorze  A,  jeŜeli  jest  ciągła  w  kaŜdym  punkcie  tego  zbioru. 
Mówimy wówczas , Ŝe funkcja f  jest klasy C w zbiorze A. 
 
 
 

POCHODNE CZĄSTKOWE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH 

 
Def. (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu) 

Niech  funkcja  f  będzie  określona  przynajmniej  na  otoczeniu 





, 



 .  Pochodną  cząstkową 

pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie 





, 



 określamy wzorem: 

:;
:-





, 



   lim

∆-

;-

/

=∆-,.

/

>;-

/

,.

/

∆-

 . 

 
Pochodną  cząstkową  pierwszego  rzędu  funkcji  f  względem  y  w  punkcie 





, 



  określamy 

wzorem: 

:;
:.





, 



   lim

∆.

;-

/

,.

/

=∆. >;-

/

,.

/

∆.

 . 

Oznaczenia: 

:?

:.

,

:;
:.

, @

.

. 

 

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych: 

A

A 



, 



   B0C,        

A

A 



, 



   B0D     

Gdzie 

C oznacza  kąt  nachylenia  stycznej  do  krzywej  otrzymanej  w  wyniku  przekroju  wykresu 

funkcji  f  płaszczyzną 

   



 w  punkcie  (





, 



, 



, 



,  do  płaszczyzny  xOy,  a D oznacza  kąt 

nachylenia  stycznej  do  krzywej  otrzymanej  w  wyniku  przekroju  wykresu  funkcji  f  płaszczyzną 

   



. 

 
 
Def.  

JeŜeli  funkcja  f  ma  pochodne  cząstkowe  pierwszego  rzędu  w  kaŜdym  punkcie  zbioru  otwartego 
  



,  to  funkcje:   

:;
:-

,  ,        

:;
:.

,  , gdzie ,        nazywamy  pochodnymi 

cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze A. 
 
 
 
 
 
 

4 

 

Def.  

Niech  funkcja  f  ma  pochodne  cząstkowe

 

:;
:-

,

:;
:.

 przynajmniej  na  otoczeniu 





, 



.  Pochodne 

cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie 





, 



 określamy wzorami: 

A





A







, 



   I

A

A 4

A

A5J 



, 



,

A





AA 



, 



   I

A

A 4

A

A5J 



, 



,

 

 

  

A





AA 



, 



   I

A

A 4

A

A5J 



, 



,

A





A







, 



   I

A

A 4

A

A5J 



, 



,   

 
Def.  

JeŜeli funkcja f ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w kaŜdym punkcie zbioru otwartego 
 

  



, to funkcje 

A





A



,  ,

A





AA ,  ,

A





AA ,  ,

A





A



, 

 

    nazywamy  pochodnymi  cząstkowymi  drugiego  rzędu  funkcji  f  na  zbiorze  A  i  oznaczamy 
odpowiednio: 

 

A





A



,

A





AA ,

A





AA ,

A





A



,

lub przez 

--

, 

-.

, 

.-

, 

..

 

 
 
Def.  

Niech  funkcja  f  ma  pochodne  cząstkowe  rzędu 

' O 2  przynajmniej  na  otoczeniu  



, 



 . 

Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie 





, 



 pochodnych cząstkowych rzędu n funkcji 

f nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu n+1 funkcji f w punkcie 





, 



. 

JeŜeli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu n  w kaŜdym punkcie zbioru otwartego, to mówimy, 
Ŝ

e na tym zbiorze określone są pochodne cząstkowe rzędu n funkcji f. 

Pochodną  cząstkową  n-tego  rzędu  funkcji  f  w  punkcie 





, 



 ,  powstałą  w  wyniku  k-krotnego 

róŜniczkowania względem zmiennej x i następnie l-krotnego róŜniczkowania względem zmiennej y, 

gdzie k+l=n, oznaczamy: 

:

2

;

:.

R

:-

S





, 



. 

 
Tw.(Schwarza o pochodnych mieszanych)  

JeŜeli pochodne cząstkowe 

:

T

;

:-:.

,  ,

:

T

;

:.:-

,   są ciągłe w punkcie 



, 



, to są równe, tj.: 

 

:

T

;

:-:.





, 



 

:

T

;

:.:-





, 



. 

 

 
Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji 

Niech  funkcja  f  ma  ciągłe  pochodne  cząstkowe

 

:;
:-

,

:;
:.

 w  punkcie 





, 



.  Wówczas  płaszczyzna 

styczna do wyk teru funkcji f w punkcie 

!



, 



, 



, 



% ma postać: 

 U 



, 



   

A

A 



, 



 U 



 V 

A

A 



, 



 U 



 

5 

 

Def. (róŜniczka funkcji) 

Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie 





, 



. RóŜniczką funkcji f 

w punkcie 





, 



 nazywamy funkcję df



, 



 zmiennych ∆, ∆ określoną wzorem:  





, 



∆, ∆  

A

A 



, 



∆ V

A

A 



, 



∆. 

 
Zastosowanie róŜniczki do obliczeń przybliŜonych: 
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie 





, 



. Wtedy: 





V ∆, 



V ∆  W 



, 



 V 



, 



∆, ∆  

 
Def. (gradient funkcji) 

Gradientem funkcji w punkcie 





, 



 nazywamy wektor określony wzorem: 

XYZ[



, 



   3

A

A 



, 



,

A

A 



, 



9 

 
Analogicznie określa się gradient funkcji trzech zmiennych. 
Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. 
 
Def. (minimum lokalne (właściwe) funkcji dwóch zmiennych) 

Funkcja f ma w punkcie 





, 



 minimum lokalne (właściwe), jeŜeli istnieje otoczenie 

(sąsiedztwo) tego punktu takie, Ŝe dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia (sąsiedztwa) zachodzi 
nierówność: 

,   O 



, 



,           \,   ] 



, 



^. 

 
Def. (maksimum lokalne (właściwe) funkcji dwóch zmiennych) 

Funkcja f ma w punkcie 





, 



 maksimum lokalne (właściwe), jeŜeli istnieje otoczenie 

(sąsiedztwo) tego punktu takie, Ŝe dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia (sąsiedztwa) zachodzi 
nierówność: 

,   _ 



, 



,           \,    



, 



^. 

 
Tw. (warunek konieczny istnienia ekstremum) 

JeŜeli funkcja f spełnia warunki: 

1.

 

Ma ekstremum lokalne w punkcie 





, 



, 

2.

 

Istnieją pochodne cząstkowe  

:;
:-





, 



,

:;
:.





, 



,  

to 

 

 

 

 

:;
:-





, 



   0,      

:;
:.





, 



   0 

Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla funkcji trzech zmiennych.  
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. 
 
!!! 

Funkcja moŜe mieć ekstrema w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe 
pierwszego rzędu są równe 0 albo w punktach, w których choć jedna z tych pochodnych 
cząstkowych nie istnieje. 

6 

 

Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum) 

Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu 





, 



 oraz 

niech : 

1.

 

:;
:-





, 



   0,      

:;
:.





, 



   0, 

 

2.

 

aB b

:

T

;

:-

T





, 



:

T

;

:-:.





, 



 

:

T

;

:.:-





, 



:

T

;

:.

T





, 



c ] 0. 

Wtedy funkcja f ma w punkcie 





, 



 ekstremum lokalne właściwe i jest to : 

minimum, gdy 

:

T

;

:-

T





, 



 ] 0 albo maksimum, gdy 

:

T

;

:-

T





, 



  0. 

 
Uwaga. 
Gdy wyznacznik w załoŜeniu 2. Jest ujemny, to funkcja nie ma ekstremum lokalnego. W 
przypadku, gdy wyznacznik ten jest równy 0, to badanie, czy funkcja f ma ekstremum lokalne w 
punkcie 





, 



 przeprowadzamy innymi metodami (np. korzystając z definicji). 

 
 
Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum) 

Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu 





, 



, 



 oraz 

niech : 

1.

 

:;
:-





, 



, 



   0,      

:;
:.





, 



, 



   0,     

:;
:?





, 



, 



   0 

2.

 

 

:

T

;

:-

T





, 



, 



 ] 0 

 

d   aB

e

f

f

f

g A





A







, 



, 



A





AA 



, 



, 



 

A





AA 



, 



, 



 A





A







, 



, 



 hi

i

i

j

] 0, 

 

k   aB

e

f

f

f

f

f

g A





A







, 



, 



A





AA 



, 



, 



 A





AA 



, 



, 



A





AA 



, 



, 



 A





A







, 



, 



A





AA 



, 



, 



A





AA 



, 



, 



 A





AA 



, 



, 



 A





A







, 



, 



 h

i

i

i

i

i

j

] 0. 

Wtedy funkcja f ma w punkcie 





, 



, 



 minimum lokalne właściwe. 

 
Uwaga. 
Gdy załoŜenie 2. ma postać 

  0,   d ] 0,   k  0, to funkcja f ma w punkcie 



, 



, 



 

maksimum lokalne właściwe. 
Dla  pozostałych  wartości  A,B,C,  o  ile 

dk l 0 ,  funkcja  nie  ma  ekstremum  lokalnego  w 

punkcie





, 



, 



.