II Przestrzenie metryczne zupełne. Zbieżność ciągu w p-ni metrycznej. Zupełnośc R i Rⁿ. Przestrzenie metryczne zwarte, spójne.

Definicja

- p-ń metryczna.

.

Definicja

Ciąg
p-ni metrycznej
nazywamy ciągiem Cauchy'ego jeżeli

.

Definicja

P-ń metryczna
nazywa się zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego w tej p-ni jest zbieżny do punktu tej p-ni w metryce
.

Definicja

Mówimy, że ciąg (p_n) punktów p-ni metrycznej
jest zbieżny do punktu
, gdy

Punkt p nazywamy granica ciągu p_n i oznaczamy przez

Uwagi

- Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego, natomiast każdy ciąg Cauchy'ego nie musi być zbieżny.

- Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest N, a przeciwdziedziną ustalony zbiór.

-



- podciąg.

- ciąg ograniczony

.

- ciąg Cauchy'ego jest ograniczony.

- ciag cauchy'ego nie ma dwóch podciągów zbieżnych do różnych granic.

Definicja

P-ń metryczna X nazywa się zwartą, gdy każdy ciąg punktów p-ni X zawiera podciąg zbieżny do pewnego punktu p-ni X.

Definicja

P-ń metryczną X nazywa się spójną, gdy X nie da się przedstawić w postaci sumy
dwóch zbiorów U₁, U₂ niepustych, otwartych i rozłącznych.

Twierdzenie

P-ń R z metryką euklidesową jest zupełna.

Twierdzenia

1) dowolna p-ń zwarta jest zupełna

2) dowolna p-ń metryczna zwarta jest ograniczona

3) podzbiór A domknięty p-ni metrycznej zwartej jest zwarty.

Przykład

- ciąg Cauchy'ego

k₀

- dowolna liczba

1)

2)

Zb. do p₁ zb. do 0 zb. do p₂