Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech
będzie próbką prostą z rozkładu normalnego
n
X
X
,
,
1
K
(
)
2
,
σ
μ
N
, zaś:
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
X
X
n
S
1
2
2
1
,
gdzie:
∑
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
.
Interesuje nas względny błąd estymacji:
2
2
2
σ
σ
−
=
S
R
.
Przy
wartość oczekiwana
10
=
n
( )
2
R
E
jest równa
(A) 0.18
(B) 0.19
(C) 0.01
(D) 0.20
(E) 0.21
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 1.
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
e
bin
1
,
2
(
)
K
,
2
,
1
,
0
dla
1
1
1
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
=
n
e
e
e
n
n
n
X
P
n
i
,
niezależną od zmiennych
.
K
K
,
,
,
,
2
1
n
X
X
X
Niech
{
}
⎩
⎨
⎧
=
>
=
0
0
0
,
,
,
min
2
1
N
gdy
N
gdy
X
X
X
M
N
N
K
Wyznacz
.
N
EM
(A)
1
−
e
(B)
2
2
e
e
−
(C)
2
1
e
e
−
(D)
e
(E)
)
1
(
2
−
e
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
W urnie znajduje się 40 kul, z których 25 jest białych i 15 czarnych. Losujemy bez
zwracania najpierw 13 kul, a następnie z pozostałych kul w urnie losujemy bez
zwracania 8 kul. Niech oznacza liczbę kul białych w pierwszym losowaniu, a
liczbę kul białych w drugim losowaniu. Oblicz
.
1
S
2
S
)
,
(
2
1
S
S
Cov
(A) 0
(B)
8
5
(C)
8
5
−
(D)
72
65
−
(E)
72
65
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Losujemy ze zwracaniem po jednej karcie do gry z talii 52 kart tak długo aż
wylosujemy pika. Niech Y oznacza zmienną losową równą liczbie wyciągniętych kart,
a X zmienną losową równą liczbie kart, w których uzyskaliśmy karo. Oblicz
.
)
4
|
(
=
X
Y
E
(A) 10
(B) 9
(C) 12
(D) 6
(E) 7
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Załóżmy, że
są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie wykładniczym i
K
K
,
,
,
1
n
X
X
λ
1
=
i
EX
. Niech
0
0
=
T
i
dla
.
Niech Y będzie zmienną losową niezależną od zmiennych
, o
rozkładzie gamma o gęstości
∑
=
=
n
i
i
n
X
T
1
K
,
2
,
1
=
n
K
K
,
,
,
1
n
X
X
(
)
⎩
⎨
⎧
≤
>
−
=
0
0
0
exp
)
(
2
x
gdy
x
gdy
x
x
x
p
β
β
,
gdzie
0
>
β
jest ustaloną liczbą.
Niech
{
}
Y
T
n
N
n
≤
≥
=
:
0
max
.
Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej N.
(A)
(
) (
)
n
n
n
N
P
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
=
λ
β
λ
λ
β
β
2
1
dla
K
,
2
,
1
,
0
=
n
(B)
(
) (
)
n
n
n
N
P
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
=
λ
β
β
λ
β
λ
2
1
dla
K
,
2
,
1
,
0
=
n
(C)
(
)
(
)
1
2
2
2
,
0
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
=
n
n
N
P
N
P
λ
β
β
β
λ
λ
β
λ
β
λ
λ
β
β
dla
K
,
2
,
1
=
n
(D)
(
)
!
1
exp
n
n
N
P
n
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
=
β
λ
β
λ
dla
K
,
2
,
1
,
0
=
n
(E)
(
)
!
1
exp
n
n
N
P
n
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
=
λ
β
λ
β
dla
K
,
2
,
1
,
0
=
n
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech
, gdzie
, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie o gęstości
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
1
>
n
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
=
,
0
4
)
(
5
4
c
x
gdy
c
x
gdy
x
c
x
p
c
gdzie
jest nieznanym parametrem. Rozważamy dwa estymatory parametru c
postaci i
0
>
c
}
,
,
,
min{
2
1
1
n
X
X
X
a
T
K
=
X
b
T
=
2
, gdzie
∑
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
oraz a, b są dobrane
tak, aby estymatory były nieobciążone. Wyznacz różnicę ryzyk estymatorów czyli
(
)
(
)
2
1
2
2
c
T
E
c
T
E
R
−
−
−
=
.
(A)
)
1
2
(
2
)
1
(
2
2
−
−
n
n
c
n
(B)
)
1
2
(
4
)
1
(
9
2
2
−
−
n
n
c
n
(C)
)
1
2
(
4
)
1
(
2
−
−
n
n
c
n
(D)
)
1
2
(
2
)
1
(
2
−
−
n
n
c
n
(E)
)
1
2
(
2
)
1
(
2
2
−
−
n
n
c
n
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7.
Niech X będzie pojedynczą obserwacją z rozkładu o gęstości
(
)
[
]
[
]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
∉
−
∈
−
=
,
,
0
,
|
|
1
)
(
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
x
gdy
x
gdy
x
x
p
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem. Weryfikujemy hipotezę
0
0
:
θ
θ
=
H
przy
alternatywie
0
1
:
θ
θ
≠
H
za pomocą testu opartego na ilorazie wiarogodności na
poziomie istotności 0.2. Moc tego testu przy alternatywie
0
4
θ
θ
=
jest równa
(A) 0.80
(B) 0.74
(C) 0.65
(D) 0.40
(E) 0.37
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
8.
Niech
, gdzie
, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie Weibulla o gęstości
n
X
X
X
,
,
,
2
1
K
1
>
n
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
=
−
,
0
0
0
2
)
(
2
x
gdy
x
gdy
xe
x
f
x
θ
θ
θ
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem. Zakładamy, że parametr
θ ma rozkład
a priori o gęstości
(
)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
−
Γ
=
−
0
0
0
exp
)
(
)
(
1
θ
θ
βθ
θ
α
β
θ
α
α
gdy
gdy
p
.
Wyznacz estymator bayesowski parametru
θ
ˆ
θ
przy funkcji straty Esschera równej
( ) ( )
2
ˆ
ˆ
,
θ
θ
θ
θ
θ
−
=
c
e
L
, gdzie
jest ustaloną liczbą.
0
≠
c
(A)
n
X
n
i
i
+
+
∑
=
α
β
1
2
(B)
c
X
n
n
i
i
−
+
+
∑
=1
2
β
α
(C)
∑
=
+
+
n
i
i
X
n
1
2
β
α
(D)
c
X
n
n
i
i
+
+
+
∑
=1
2
β
α
(E)
n
c
X
n
i
i
+
−
+
∑
=
α
β
1
2
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
9.
Zmienne losowe U i V są niezależne i mają rozkłady jednostajne na przedziale (0,2).
Niech
i
{
V
U
X
,
max
=
}
{
}
V
U
Y
,
min
=
. Wtedy prawdziwe jest następujące
stwierdzenie
(A)
0
)
,
(
=
Y
X
Cov
(B)
(
)
5
.
0
4
2
2
=
<
+ Y
X
P
(C)
(
)
75
.
0
2
=
≤
+ Y
X
P
(D)
(
)
5
.
0
1
=
≥
− Y
X
P
(E)
9
1
)
,
(
=
Y
X
Cov
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
10.
Obserwujemy niezależne zmienne losowe
Zmienne
losowe
mają ten sam rozkład o dystrybuancie
, a zmienne losowe
mają ten sam rozkład o dystrybuancie
. Dystrybuanta
spełnia
warunek
5
4
3
2
1
4
3
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
Y
Y
Y
Y
Y
X
X
X
X
.
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
1
μ
F
5
4
3
2
1
,
,
,
,
Y
Y
Y
Y
Y
2
μ
F
μ
F
)
(
)
(
μ
μ
−
=
x
F
x
F
dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty F.
Weryfikujemy hipotezę
2
1
0
:
μ
μ
=
H
przy alternatywie
2
1
1
:
μ
μ
≠
H
stosując test
o obszarze krytycznym
}
27
13
:
{
≥
∨
≤
=
S
S
S
K
,
gdzie S jest sumą rang zmiennych losowych
w próbce złożonej ze
wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznacz rozmiar testu.
4
3
2
1
,
,
,
X
X
X
X
(A)
63
8
(B)
63
7
(C)
63
6
(D)
63
5
(E)
63
4
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
Imię i nazwisko : ........................K L U C Z O D P O W I E D Z I..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
1 B
2 A
3 C
4 A
5 A
6 C
7 C
8 B
9 E
10 B
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11