Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
2
1
ER =
E S − 2 σ S + σ
4
( 4 2 2 4)
σ
∑( X − X
i
)2
2
≅ χ
)
9
(
2
σ
∑ X − X
4
1
1
i
σ
ES = E
∑ X − X
=
E
σ =
2 ⋅ 9 + 9
= 9
,
0 9 σ
2 (
2
( i
) )2
2
( (
)2)
4
2
n
n
( 2 σ)
4
2
(
2
2
)
4
n
2
1 2
2
ES =
σ 9 = 9
,
0 σ
n
σ ⋅
2
1
2 2
4
9 2
ER =
σ
9
,
0 9
4
σ −
+ σ
= 9
,
0 9 − 8
,
1 + 1 = 1
,
0 9
4
σ
10
Zadanie 2
−
P(mi {
n X ,..., X
1
}< t) =1− P(min > t) =1− ( e ) n t
n
n−
f
= n e− t
e− t = ne− tn ≅ wykl n min
( ) 1
( )
∞
∞
2
i
ODP = ∑
i
e
E min(
1
1 1
1
X ,..., X P( N
i)
1
i )
= = ∑ +
−
=
i i
e
e
i=1
i=1
∞
2
i
∞
2
i
= ∑1 ( i + )
1 ! 1 e −1
i 1 1
e 1
= ∑ + −
i
i
e
e
i
e
e
i=
!
1
i=
1
1
c k
logarytmiczny: P( M = k) =
, k = ,
1 ,
2 .... c ∈ (
)
1
,
0
− ln 1
( − c) k
Z tego:
e − i
i
1
=1
e −1
6 4
47 4
4 8
∞
∞
∑ e
1
=
e
1 → ∑
=1
i
i
i=
1
i=
1
1
ln e −1
1 −
e
e −1
∞
2
i
2
2
2
2
2
ODP = ∑ 1 e −1
1
1
1
1 e
e
−1
1
+ =
+ =
e + =
e e
e
e
e −
e
e
e
e
i=
1
1
1 − e
2
1
1
1
= ( e −1+ )
1
−
= = e
e
e
Zadanie 3
cov( S , S
=
S + S
−
S −
S
1
2 )
(var( 1 2) var
var
1
2 )
5
,
0
rozkład hipergeometryczny:
−
var( S + S
=
⋅
−
=
1
2 )
25
25 40
21
1995
21
1
40
40
39
832
25
25 40 −13
135
var S = 13 ⋅
1 −
=
1
40
40
39
64
25
25 40 − 8
60
var S = 8 ⋅
1 −
=
2
40
40 39
39
1995
135
60
5985 − 5265 − 3840
3120
780
195
65
5
−
−
=
= −
= −
= −
= −
= −
832
64
39
2496
2496
624
156
52
4
5 1
5
ODP = −
= −
4 2
8
Zadanie 4
k=5,6,...
P(
P X = Y = k P Y =
Y = k X =
k
4)
( 4
) (
)
=
P( X = 4)
P( X =
P X
4 Y = k ) = P( X = 4 nie b ylo p
ika w k
- )
( = ,4nie b ylo p ika w k - )
1 =
1 =
P(nie b
ylo p
ika w k
-1)
k −
1
4
k −5
13 ⋅ 26
k
k
−
4
1
52
2
k −
=
=
1
k
k −1
52
39
3
4
k 1
−
k 1
−
39
13
3
1
P( Y = k) =
=
52
52
4
4
∞
k −1
k −1
∞
n+4
n+4
4
k
n
P( X = )
4 = ∑ −1
2
3
1
5
1
2
1 3
1
1
1
5
= k − 5 = n = ∑ + −
=
⋅ 2 =
n
k =
4
3
4
4
3
4 4
2
4
2
5
n=0
1
1
1
2 − − 1
3 − 1
−1 1 1 −
−1
1
P( Y = k X = 4) k
k
k
k
k
k
k
=
⋅ 2 =
=
3
4
4
4
k − 5 2 2
k − 5
2
∞
k
∞
n
5
ODP = ∑ k −1
1
5
n 1
1
1
k
= k − 5 = n = ∑
+ −
( n + )
5
= 5 + 5 = 10
k
n
k =
5
2
2
2
5
−
n=0
Zadanie 5
P( N = 0) = P( T 1 > Y ) P( N = )
1 = P( T
,
Z ≅ Γ( k, λ)
1 < Y T 2 > Y ) k
P( N = k) = P( T ≤ Y , T +1 > Y
k
k
)
∞ x
∞
x
P( N = 0) = ∫ ∫ 2 − y β
− λx
β ye
λe
dydx = ∫ − λx 2
− x
β
1
−
x
β
1
λe
β
− e
−
e
+
=
2
2
β
β
β
0 0
0
∞
2
λx
( λ β ) x
( λ β ) x
βλ
λ
λ + 2 λβ + 2
β − βλ − 2
λ − λβ
β 2
= ∫ −
− +
− +
λe
− β λ
x e
− λe
= 1−
−
=
=
2
2
( λ + β)
λ + β
( λ + β)
λ + β
0
X ≅
−
λe λx
P( N = k) = P( Z < Y , Z + X > Y ) = Y ≅
2
−
β ye y
β
= P( X > Y − Z > 0) =
k
Z ≅ λ
k −1 −
t
e λt
Γ( k)
4
6 I 4
7 8
6 4
4 7
II
4
4 8
= P Y
( − Z > 0) − P Y
( − Z > X ) = P Y
(
> Z) − P Y
( > Z + X )
∞ ∞
k
∞
k
λ
λ
z
I.∫ ∫ 2 − y
β
k −1 − λz
β ye
z
e
dydz = ∫ 2
k −1 − λz
− z
β
1
−
z
β
β
z
e
e
+
e
=
2
Γ( k)
Γ( k)
β
β
0 z
0
∞
k
∞
k
k
k
k
k
= ∫ λ
k
−( λ+ β) z
βz e
+ ∫ λ
k −1 −( λ+ β ) z λ
Γ( k + )
1
λ
Γ
z
e
=
β
+
( k)
=
λ
β
k
+
λ
k +1
k
k +
Γ( k)
Γ( k)
Γ( k) ( λ + β) Γ( k) ( λ + β) ( λ +
1
β)
( λ + β) k
0
0
∞ ∞
k +1
∞
k +1
λ
λ
x
II.∫ ∫ 2 − y
β
k
− λx
β ye
x e
dydx = ∫ 2
k
− λx
− x
β
1
−
x
β
β
x e
e
+
e
=
2
Γ( k + )
1
Γ( k + )
1
β
β
0 x
0
∞
k +1
k +1
= ∫
λ
k +1 −( λ+ β ) x λ
k
−( λ+
β
x
e
+
β ) x
x e
=
Γ( k + )
1
Γ( k + )
1
0
k 1
+
k 1
+
k 1
+
k 1
+
λ
Γ( k + 2)
λ
Γ( k + )
1
β( k + )
1
= β
+
=
λ
+
λ
k +2
k 1
+
k +2
k 1
Γ( k + )
1
+
( λ + β)
Γ( k + )
1 ( λ + β)
( λ + β)
( λ + β)
k
k
k +1
k +1
k +1
λ
λ
β λ
k
βλ
λ
P( N = k) = β
k
+
−
−
−
=
( λ +
k +1
β)
( λ + β) k
( λ +
k +2
β)
( λ +
k +2
β)
( λ +
k +1
β)
k
=
λ
β
k
β λ
k
βλ
λ
+1−
−
−
=
( λ + β) k λ + β
( λ + β)2
( λ + β)2
( λ + β)
k
2
2
λ
β
k ( λ + β) + λ + 2 λβ + β − β λ
k − βλ − λ( λ +
=
β)
=
( λ + β) k
...
2
k
k
λ
β 2 ( k + )
1
β λ
=
= ( k + )
1
2
k
( λ + β)
( λ + β)
λ + β λ + β
dla k=0 = P(N=0) czyli odpowiedź (A) jest prawidłowa Zadanie 6
4 n
c
P(min < t) = 1 − P(min > t) = 1 −
t
t
4
4
4 c
c
P( X < t) = ∫
dx = 1 −
5
x
t
c
4 n
4 n
−4 n 1
−
4
f
= c ⋅
nc
4 nt
=
min
4 n 1
+
t
∞
∞
4 n −4 n+
1
4 n
4
4
4
4
4
E min = ∫
n − n
4 nc t
= nc t
nc
nc
=
=
4 n−
1 4 n
c
1 (4 n
)
1
4 n 1
c
−
−
−
c
4 nc
4 n −1
ET = a
= c → a =
1
4 n −1
4 n
∞
∞
4
4
4
= ∫ 4 c
4
4
4
EX
=
c
c
−
=
= c
x 4
3 x 3
c
3 3
3
c
c
1
4
4
EX =
⋅ n c = c
n
3
3
4
3
ET = b c = c → b =
2
3
4
R = E( 2
2
T − 2 cT + c
− E T − 2 cT + c
2
2
) ( 2
2
1
1
)
E( X + ... + X 2
1
= var X 1 + ... + X + E 2 X 1 + ... + X
n )
(
n )
(
n )
n
var( X + ... + X
n ) = ∑ var X i = 2
2
c
1
9
∞
∞
4
4
4
2 = ∫ 4 c
4
2
EX
=
c
c
−
=
= 2 c 2
x 3
2 x 2
c 2
c
c−
2
16 2
18 16 2
2 2
var X = 2 c −
c =
c =
c
9
9
9
2
E(
2 n
4 nc
2
16
X + ... + X
=
c +
= nc +
n c
1
n )2
2
2
2 2
9
3
9
9
2
2
2 c
16 2
EX
=
+
c
9 n
9
∞
∞
4 n
4 n
4 n
2
min 2 = ∫ 4 nc
4
4
4
E
=
nc
nc
nc
=
=
4 n−1
4 n−2
4 n−
x
x
(2
4 n)
c
2 (4 n 2)
4 n
2
c
−
−
−
c
2
2
2
9
2 c
16
3 4
2
2
4 n −1
4 nc
4 n −
R =
+
c
−
nc
2 c
c + c −
1 4
− 2 c
+ 2
c =
16 9 n
9
4 3
4 n 4 n − 2
4 n
4 n −1
2
2
2
2
c
2
2
2
(4 n −
=
+ c −
c
nc
2 c + c −
)
1
8
−
+ 2
c =
8 n
4 n − 2 4 n
4 n
2
c
(16 n 2 −8 n+ ) 2
2
2
1 c − 8 nc (4 n − 2) + c 4 n(4 n −
=
−
2)
=
8 n
(4 n − 2)4 n
2
2
2
c
c
c (4 n − 2 − 2)
2
c 4( n − )
1
2
c ( n − )
1
=
−
=
=
=
8 n
4 n(4 n − 2)
8 n(4 n − 2)
8 n(4 n − 2)
4 n(2 n − )
1
Zadanie 7
1
L θ
( , x) =
( θ − x )
θ 2
∂
1
2 x
− θ + 2 x
= −
+
=
= → θˆ
0
= 2 x
θ
∂
θ 2
θ 3
θ 3
2 x
λ( x) =
> t
1 ( θ 0 − x )
θ 20
2
θ 0
P
θ
> t =
0
4
x ( θ − x
0
)
,
0 2
P(
0
t
2
X < t ) =
t
t
P(− t < X < t = ∫ 1
)
( θ + x) +
1
2
( θ
x)
[
;
0 θ]
2
∫
−
=
−
2
2
− θ
θ
θ
θ
t
0
2
2 t
f x =
−
2
θ
θ
x =
: x
θ
t t
θ
t t
2
2
( − )
1
( − )
1
4 tx − 4 t x
θ + θ > 0 → x x
1 =
1 −
, 2 =
1 +
2
t
2
2
P(
1
x
θ
X <
2
2 t
2
2 t
t( t
)
1
t( t
)
1
x
P X
x
1
,
0 2
8
,
0
1 ) +
( > 2)
−
−
= ∫ − +
2
∫ − = −
=
→
=
θ
θ
2
θ
θ
t
t
0
x 2
2
2 t
1
t
f
=
−
=
−
t ∈ ( ;
0 4 θ)
1
θ
4 θ
16 2
θ
2 θ
8 2
θ
θ
x =
,
0 2 =
θ
1
,
0
1
2
θ
x =
+
=
2
(1 8,
0 )
θ
9
,
0
2
0 θ
1
,
4 θ
1
1
moc = ∫
− t +
...
6
,
0 5
2
∫
− t = =
θ
2
θ
8
θ
2
θ 2
8
0
0,9 θ
Zadanie 8
∫ L( θˆ, θ)Π( θ X ) dθ → min θ
,...,
( )
f (
f X
X θ f θ
θ X ,..., X
1
=
1
n )
(
n
)
f ( X ,..., X
1
n )
∞
α
θ
x
f (
2
n
n
i
β
X ,..., X
2 θ
x e
θ α e βθ dθ
1
n ) = ∫
− ∑
−1 −
Π i
=
Γ( α)
0
α
∞
2
α = n +
α
α
β
n
n+ −1 − θ
α
( β+∑ xi )
=
β
n
α
2 Π x θ
e
dθ
x
i ∫
n
Γ( +
=
)
2
Γ
i
( α)
β = β + ∑
=
Π
2
x
α
i
Γ
2
( )
n α
0
( β +∑ xi ) +
n+ α
α
θ
x
n
n
i
α
βθ
i
f (
2
2
β
α β
x
θ X ,... X
θ
x e
θ
e
1
n )
− ∑
Γ( )
1
∑
− −
( +
)
= 2
Π i
=
Γ( α)
β α 2 n Π xiΓ( n + α) 2
+ − − ∑ +
+
n
1
θ
α
( x β
i
)
n α
θ
e
(
2
β + ∑ xi )
=
Γ( n + α)
n α
θ
c
i
θ
x
β
L(
β
x
ˆ
θ ) ∞
2
2
= e ( θ − ˆ θ)2 ( + ∑ ) + n+ α−1 − (∑ i + )
∫
θ
e
dθ =
Γ( n + α)
0
to m
usi b
yc >
b
0 o i
naczej c
alka =∞
4
6
4
7 8
n+ α
− θ
∑ 2 xi+ β− c
∞
2
β
x
α
n
α
= ( 2
θ − ˆ
i
2 θ
θ + 2
ˆ
θ )( + ∑ )
= +
∫
n+ α−1
θ
e
=
Γ( n + α)
β = ∑
=
2
xi + β − c
0
(
n α
β + ∑ 2
xi ) +
Γ( n + α)
( n + α)( n + α + ) 1
n +
=
α
2
ˆ
ˆ
2 θ
θ
Γ( n + α)
(∑ 2
n α
xi + β − c)
−
+
+ ∑ xi + β − 2
2
c
∑ 2
xi + β −
(
)
(
c)
+
+ ∑
L(
n α
2
β
x
ˆ
θ )
i
=
[.. ].
2
∑ x + β − c
i
n+ α
∂
β + ∑ 2
xi
2( n + α)
n +
=
α
−
+ θˆ
2 =
→ θˆ
0
=
ˆ
∂ θ
2
2
2
∑
xi + β − c
∑ xi + β − c
∑ xi + β − c
n+
2
2
∂
β + ∑
α
xi
=
⋅ 2 > 0 → min
ˆ2
2
∂ θ
∑ x
β
c
i +
−
Zadanie 9
n!
−1
− −
f ( x, y) =
1
−
F r ( x) f ( x) ( ) − ( )
( ) 1 − ( )
≤
rs
[ F y F x ] s r f y [ F y ] n s x y ( r − )
1 !( s − r − )
1 !( n − s)!
x, y ∈ ( ,
0 2
) x ≤ y =
: A
1 1
1
f ( Y , X ) = 2 ⋅
= n
a A
12
2 2
2
2 y xy
E( YX ) = ∫ ∫
dxdy = 1
2
0 0
2 y
= ∫ ∫ x
EX
dxdy = 2
2
3
0 0
2 y
= ∫ ∫ y
EY
dxdy = 4
2
3
0 0
2 4
8
1
cov( X , Y ) = 1 −
= 1− =
3 3
9
9
Zadanie 10
P ( k) - rozmiar testu H 0
przy H prawdopodobieństwo kaŜdego ustawienia X<Y<X<... jest takie samo 0
ilość wszystkich ustawień = 9!
K : S ≤ 1
3 l
ub
S ≥ 27
1
4
3
2
1
1
6
7
8
9
2
5
3
2
1
2
5
7
8
9
3
6
3
2
1
3
4
7
8
9
4
7
3
2
1
4
3
7
8
9
5
5
4
2
1
5
5
6
8
9
6
6
4
2
1
6
4
6
8
9
7
5
4
3
1
7
5
6
7
9
Z tego: dla kaŜdego 4!5!
RAZEM=4!5!14
!
5
!
4 ⋅14
24 ⋅14
1
7
ODP =
=
= =
!
9
6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9
9
63