Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
4
2
2
4
4
2
2
1
σ
S
σ
S
E
σ
ER
+
−
=
(
)
)
9
(
2
2
2
χ
σ
X
X
i
≅
−
∑
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
4
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
4
99
,
0
9
9
2
1
1
σ
n
σ
σ
σ
X
X
E
n
X
X
n
E
ES
i
i
=
+
⋅
=
−
=
−
=
∑
∑
2
2
2
9
,
0
9
1
σ
σ
n
ES
=
=
19
,
0
1
8
,
1
99
,
0
10
9
2
99
,
0
1
4
2
2
4
4
2
=
+
−
=
+
⋅
−
=
σ
σ
σ
σ
σ
ER
Zadanie 2
{
}
(
)
( )
n
t
n
e
t
P
t
X
X
P
−
−
=
>
−
=
<
1
)
(min
1
,...,
min
1
( )
)
(
1
min
n
wykl
ne
e
e
n
f
tn
t
n
t
≅
=
=
−
−
−
−
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
=
−
+
=
=
=
1
1
2
1
1
1
1
1
)
(
,...,
min
i
i
i
i
e
e
e
i
i
i
i
N
P
X
X
E
ODP
∑
∑
∞
=
∞
=
−
+
=
−
+
=
1
1
2
2
1
1
1
1
1
!
)!
1
(
1
i
i
i
i
e
e
e
i
i
e
e
e
i
i
i
logarytmiczny:
)
1
,
0
(
,....
2
,
1
,
)
1
ln(
1
)
(
∈
=
−
−
=
=
c
k
k
c
c
k
M
P
k
Z tego:
∑
∑
∞
=
∞
=
=
=
−
→
=
−
−
−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
1
1
i
i
i
i
i
e
e
e
e
i
e
e
4
4 8
4
47
6
∑
∞
=
=
+
−
=
+
−
−
−
=
+
−
=
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i
i
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
ODP
1
2
1
)
1
1
(
1
−
=
=
+
−
=
e
e
e
e
Zadanie 3
(
)
(
)
(
)
5
,
0
var
var
var
,
cov
2
1
2
1
2
1
S
S
S
S
S
S
−
−
+
=
rozkład hipergeometryczny:
(
)
832
1995
39
21
40
40
25
1
40
25
21
var
2
1
=
−
−
⋅
=
+
S
S
64
135
39
13
40
40
25
1
40
25
13
var
1
=
−
−
⋅
=
S
39
60
39
8
40
40
25
1
40
25
8
var
2
=
−
−
⋅
=
S
4
5
52
65
156
195
624
780
2496
3120
2496
3840
5265
5985
39
60
64
135
832
1995
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
8
5
2
1
4
5
−
=
−
=
ODP
Zadanie 4
k=5,6,...
(
) (
)
)
4
(
)
(
4
4
=
=
=
=
=
=
=
X
P
k
Y
P
k
Y
X
P
X
k
Y
P
(
) (
)
(
)
=
=
=
=
=
=
=
1)
-
k
w
pika
bylo
nie
(
1
-
k
w
pika
bylo
nie
,
4
1
-
k
w
pika
bylo
nie
4
4
P
X
P
X
P
k
Y
X
P
−
=
⋅
−
=
−
−
−
4
1
3
2
39
52
52
26
13
4
1
1
1
5
4
k
k
k
k
k
k
k
4
1
4
3
52
13
52
39
)
(
1
1
−
−
=
=
=
k
k
k
Y
P
∑
∑
∞
=
∞
=
+
+
−
−
=
⋅
=
−
+
=
=
−
=
−
=
=
5
0
5
4
4
4
1
1
2
1
2
4
1
2
1
4
3
4
1
3
2
1
5
5
4
1
4
3
3
2
4
1
)
4
(
k
n
n
n
k
k
n
n
n
k
k
X
P
(
)
k
k
k
k
k
k
k
k
k
X
k
Y
P
−
−
=
−
−
=
⋅
−
=
=
=
−
−
−
2
1
5
1
2
1
2
1
5
1
2
4
1
4
3
4
1
3
2
4
1
1
1
∑
∑
∞
=
∞
=
=
+
=
−
+
+
=
=
−
=
−
−
=
5
0
5
10
5
5
2
1
2
1
1
5
)
5
(
5
2
1
5
1
k
n
n
k
n
n
n
n
k
k
k
k
ODP
Zadanie 5
(
)
(
)
(
)
Y
T
Y
T
P
k
N
P
Y
T
Y
T
P
N
P
Y
T
P
N
P
k
k
>
≤
=
=
>
<
=
=
>
=
=
+
1
2
1
1
,
)
(
,
)
1
(
)
0
(
)
,
(
λ
k
Z
k
Γ
≅
∫ ∫
∫
∞
∞
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
=
=
0 0
0
2
2
2
2
1
1
)
0
(
x
x
β
x
β
x
λ
x
λ
y
β
β
e
β
e
β
x
β
e
λ
dydx
e
λ
ye
β
N
P
∫
∞
+
−
+
−
−
+
=
+
−
−
−
+
+
=
+
−
+
−
=
−
−
=
0
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1
β
λ
β
β
λ
λβ
λ
βλ
β
λβ
λ
β
λ
λ
β
λ
βλ
e
λ
e
λ
x
β
e
λ
x
β
λ
x
β
λ
x
λ
=
>
−
>
=
Γ
≅
≅
≅
=
>
+
<
=
=
−
−
−
−
)
0
(
)
(
)
,
(
)
(
1
2
Z
Y
X
P
e
t
k
λ
Z
ye
β
Y
e
λ
X
Y
X
Z
Y
Z
P
k
N
P
t
λ
k
k
y
β
x
λ
4
4 8
4
4 7
6
4
8
47
6
II
I
X
Z
Y
P
Z
Y
P
X
Z
Y
P
Z
Y
P
)
(
)
(
)
(
)
0
(
+
>
−
>
=
>
−
−
>
−
=
∫ ∫
∫
∞ ∞
∞
−
−
−
−
−
−
−
=
+
Γ
=
Γ
0
0
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
.
z
z
β
z
β
z
λ
k
k
z
λ
k
k
y
β
e
β
e
β
z
e
z
k
λ
β
dydz
e
z
k
λ
ye
β
I
∫
∫
∞
∞
+
+
+
−
−
+
−
+
+
+
=
+
Γ
Γ
+
+
+
Γ
Γ
=
Γ
+
Γ
=
0
0
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
k
k
k
k
k
z
β
λ
k
k
z
β
λ
k
k
β
λ
λ
β
λ
λ
β
k
β
λ
k
k
λ
β
λ
k
β
k
λ
e
z
k
λ
e
z
β
k
λ
∫ ∫
∫
∞ ∞
∞
−
−
−
+
−
+
−
=
+
+
Γ
=
+
Γ
0
0
2
1
2
1
2
1
)
1
(
)
1
(
.
x
x
β
x
β
x
λ
k
k
x
λ
k
k
y
β
e
β
e
β
x
e
x
k
λ
β
dydx
e
x
k
λ
ye
β
II
∫
∞
+
−
+
+
−
+
+
=
+
Γ
+
+
Γ
=
0
)
(
1
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
x
β
λ
k
k
x
β
λ
k
k
e
x
k
λ
e
x
k
λ
β
1
1
2
1
1
1
2
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
Γ
+
Γ
+
+
+
Γ
+
Γ
=
k
k
k
k
k
k
k
k
β
λ
λ
β
λ
λ
k
β
β
λ
k
k
λ
β
λ
k
k
λ
β
=
+
−
+
−
+
−
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
1
1
2
1
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
β
λ
λ
β
λ
βλ
β
λ
λ
k
β
β
λ
λ
β
λ
λ
β
k
k
N
P
=
+
−
+
−
+
−
+
+
+
=
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
2
β
λ
λ
β
λ
βλ
β
λ
λ
k
β
β
λ
β
k
β
λ
λ
k
k
=
+
−
−
−
+
+
+
+
+
=
...
)
(
2
)
(
)
(
2
2
β
λ
λ
βλ
λ
k
β
β
λβ
λ
β
λ
β
k
β
λ
λ
k
k
k
k
k
β
λ
λ
β
λ
β
k
β
λ
k
β
β
λ
λ
+
+
+
=
+
+
+
=
2
2
2
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
dla k=0 = P(N=0) czyli odpowiedź (A) jest prawidłowa
Zadanie 6
n
t
c
t
P
t
P
4
1
)
(min
1
)
(min
−
=
>
−
=
<
4
5
4
1
4
)
(
−
=
=
<
∫
t
c
dx
x
c
t
X
P
t
c
A
na
2
1
2
1
2
1
2
)
,
(
12
=
⋅
=
X
Y
f
∫ ∫
=
=
2
0 0
1
2
)
(
y
dxdy
xy
YX
E
∫ ∫
=
=
2
0 0
3
2
2
y
dxdy
x
EX
∫ ∫
=
=
2
0 0
3
4
2
y
dxdy
y
EY
9
1
9
8
1
3
4
3
2
1
)
,
cov(
=
−
=
−
=
Y
X
Zadanie 10
)
(
0
k
P
H
- rozmiar testu
przy
0
H prawdopodobieństwo kaŜdego ustawienia X<Y<X<... jest takie samo
ilość wszystkich ustawień = 9!
5
4
3
1
6
4
2
1
5
4
2
1
7
3
2
1
6
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
lub
13
:
≤
S
K
5
6
7
9
4
6
8
9
5
6
8
9
3
7
8
9
4
7
8
9
5
7
8
9
6
7
8
9
7
6
5
4
3
2
1
27
≥
S
Z tego: dla kaŜdego 4!5!
RAZEM=4!5!14
63
7
9
1
9
8
7
6
14
24
!
9
14
!
5
!
4
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
ODP
