Egzamin dla Aktuariuszy z 14 maja 2007 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
?
)
(
40
)
(
42
2
1
,
0
1
=
−
=
−
d
N
e
d
N
P
C
δ
R
S
C
P
Xe
P
P
P
−
+
−
=
1
,
0
40
42
03
,
1
−
+
−
=
e
P
C
84
,
6
40
03
,
1
42
1
,
0
≈
−
+
=
−
e
P
C
Zadanie 2
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+
+
+
=
+
+
+
=
∞
∞
∞
4
4
8
4
4
7
6
)
(
2
2
...
3
1
2
1
1
1
...
3
1
2
1
v
f
v
v
i
a
v
va
a
ODP
)
(
...
3
1
2
1
)
(
3
2
v
g
v
v
v
v
v
f
=
+
+
+
=
⋅
64
1
1
ln
1
1
)
1
1
1
ln(
)
1
ln(
)
(
)
1
ln(
)
(
)
(
1
1
...
1
)
(
2
≈
+
+
=
+
+
−
−
=
−
−
=
→
→
−
−
=
′
=
→
−
=
+
+
+
=
′
ò
i
i
i
i
i
i
v
v
v
f
v
v
g
v
g
v
v
v
v
g
Zadanie 3
....
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
)
(
....
)
1
(
1
)
(
4
3
3
2
2
1
2
2
1
−
+
−
+
−
+
−
=
′
+
+
+
+
=
i
R
i
R
i
R
i
V
P
i
R
i
R
i
PV
i
i
i
PV
i
R
i
R
dur
i
PV
i
i
i
i
V
P
+
=
+
+
+
+
=
←
+
−
=
+
′
1
)
(
...
)
1
(
2
)
1
(
)
(
1
)
1
)(
(
2
2
1
Z tego wynika:
i
i
PV
i
V
P
i
i
PV
i
V
P
1
)
(
)
(
)
(
)
(
−
=
′
−
=
′
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
i
i
PV
i
i
V
P
i
i
PV
i
i
V
P
i
V
P
+
′
−
=
−
′
−
=
′′
200
1
,
0
2
2
1
)
(
)
(
2
2
2
=
=
=
+
′
−
=
i
i
i
i
PV
i
V
P
ODP
II.
x<50
[
]
[ ]
)
0
(
50
b
a;
~
Y
inaczej
3
100
))
0
;
50
max(
;
0
max(
=
<
>
−
b
x
Y
E
[
]
ò
+
−
=
−
=
>
>
−
x
x
x
x
y
P
Y
E
5
,
1
50
1500
90
20
27
6
5
50
)
0
(max
0
max
)
0
;
50
max(
[
]
ò
ò
≈
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
−
=
50
3
100
70
50
40
1
50
20
23
40
1
1500
90
20
27
)
;
max(
C
x
x
x
B
A
E
25
,
9
15
,
1
≈
C
Zadanie 7
1
:
10
6
=
a- podwojenie
b- tak samo
c- bankructwo
kwota
prawdopod
kwota na koniec
aaa
8
3
4
,
0
P(0)=0,488
aab
4
3
4
,
0
064
,
0
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
n
P
aac
0
2
,
0
4
,
0
2
⋅
192
,
0
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
n
P
aba
4
3
4
,
0
192
,
0
4
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
n
P
i
X
~
abb
2
3
4
,
0
064
,
0
8
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
n
P
abc
0
...
ac
0
...
baa
4
...
bab
2
...
bac
0
...
bba
2
...
bbb
1
...
bbc
0
...
bc
0
...
c
0
...
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
−
>
=
>
≥
>
−
+
+
å
i
i
i
n
X
n
nEX
N
P
X
P
X
X
P
var
5
,
1
5
,
1
99
,
0
)
5
,
0
1
....
(
1
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
014016
,
5
985984
,
2
8
var
8
064
,
0
064
,
0
64
192
,
0
16
192
,
0
4
1
728
,
1
064
,
0
064
,
0
8
192
,
0
4
192
,
0
2
1
n
n
n
X
n
n
EX
n
n
EX
i
i
i
=
−
=
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
2
2
326
,
2
014016
,
5
228
,
0
326
,
2
014016
,
5
228
,
0
326
,
2
014016
,
5
728
,
1
5
,
1
>
→
>
−
≤
−
n
n
n
522
83
,
521
228
,
0
014016
,
5
326
,
2
2
2
=
→
≈
⋅
≥
n
n
Zadanie 8
K
=
⋅
10
08
,
1
400000
- kredyt po 10 latach
20
10
20
10
08
,
1
400000
08
,
1
400000
a
X
Xa
⋅
=
→
=
⋅
rata
X
Y
Ya
def
a
a
Xa
ZAD
=
→
=
=
⋅
⋅
=
=
10
10
20
10
10
08
,
1
400000
)
20
(
dodatkowa rata
(
)
(
)
(
)
+
−
+
+
−
+
−
=
30
30
12
12
11
11
996
,
0
1
05
,
1
...
996
,
0
1
05
,
1
996
,
0
1
05
,
1
X
X
X
ODP
)
996
,
0
1
(
996
,
0
05
,
1
...
)
996
,
0
1
(
996
,
0
05
,
1
)
996
,
0
1
(
996
,
0
05
,
1
10
20
30
2
20
22
20
21
−
+
+
−
+
−
+
X
X
X
]]
05
,
1
996
,
0
1
05
,
1
996
,
0
1
05
,
1
996
,
0
05
,
1
1
1
05
,
1
1
1
05
,
1
1
[
996
,
0
05
,
1
996
,
0
1
05
,
1
996
,
0
1
05
,
1
996
,
0
05
,
1
1
1
05
,
1
1
1
05
,
1
1
[
10
21
10
21
20
20
11
20
11
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
−
−
+
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
−
=
X
Z tego wychodzi około 53706
