CIĄGI I SZEREGI O WZORACH RZECZYWISTYCH

Mówimy, że liczba
jest GRANICĄ CIĄGU
gdzie

Jeżeli
, piszemy wtedy

Interpretacja geometryczna granicy ciągu
mamy dowolnie mała liczbę dodatnią
wtedy

Mówimy, że ciąg
ma GRANICĘ
jeżeli dla

Piszemy wtedy:

Ciąg posiadający granicę skończoną ,wtedy
jest GRANICĄ WŁAŚCIWĄ ciągu.

Ciąg, który ma granicę +∞,-∞ albo nie posiada granicy skończonej ani nie skończonej nazywamy ROZBIEŻNYM.

Definicja

Ciąg
nazywamy ograniczonym jeżeli

\

Własności ciągów zbieżnych

1. Jeśli ciąg
   jest zbieżny to jest ograniczony

2. Ciąg
   

TWIERDZENIE STOLZA

Niech ciąg
będzie dowolny a ciąg
niech będzie nieograniczony z góry i rosnący

Jeżeli ciąg
gdzie
jest zbieżny. To ciąg
też jest zbieżny do tej samej granicy.

TWIERDZENIE O GRANICY ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ

Jeżeli ciąg
jest zbieżny, to ciąg średnich arytmetycznych
jest zbieżny do tej samej granicy.

Dowód

Niech
korzystamy z twierdzenia Stolza

Ciąg
jest rosnący i nieograniczony z góry. Ponadto mamy

Czyli

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

PODCIĄGI

Niech będzie dany ciąg
oraz ciąg liczb naturalnych
przy czym
wtedy ciąg
nazywamy podciągiem ciągu
.

Podciąg
różny od ciągu
nazywamy podciągiem właściwym ciągu

Np. ciąg
,
są podciągami właściwymi ciągu

Jeżeli ciąg
, podciąg ciągu
jest zbieżny , to jego granicę nazywamy granicą częściową ciągu
.

TWIERDZENIE 4

Jeżeli ciąg
jest zbieżny do
lub rozbieżny
, to każdy jego podciąg jest zbieżny do
, lub rozbieżny do
.

Punkty skupienia ciągu.

Definicja

Ciąg
posiada punkt skupienia
jeżeli,

TWIERDZENIE BOLZANO-WEIERSTRUSSA

Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada co najmniej jeden punkt skupienia.

Największy punkt skupienia ciągu ograniczonego
nazywamy jego górną granicę

( lim superior)

Oznaczamy
lub

Najmniejszy punkt skupienia ciągu ograniczonego
nazywamy jego dolną granicę

( lim inferion)

Oznaczamy
lub

TWIERDZENIE

Jeżeli ciąg
jest ograniczony to równość
=
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
jest zbieżny do wspólnej wartości obu granic

Ciąg
nazywamy

1. rosnącym jeżeli
   

2. malejącym jeżeli
   

3. niemalejącym jeżeli
   

4. nierosnący
   

TWIERDZENIE

1. ciąg
   niemalejący, ograniczony z góry tzn.

jest zbieżny

2. ciąg
   nierosnący, ograniczony z dołu tzn.

jest zbieżny

3. jeżeli ciąg
   jest niemalejący i nieograniczony z góry to
   dąży do +∞

4. jeżeli ciąg
   jest nierosnący i nieograniczony z dołu to
   dąży do -∞

DEFINICJA LICZBY E

Ciąg
jest rosnący i ograniczony z góry, a więc zbieżny.

Liczba e jest liczbą niewymierną.

TWIERDZENIE

Niech ciąg
,
≠0 ,
, n=1,2… będzie dowolnym ciągiem dążącym do +∞,

a
,
≠0 ,
, n=1,2… będzie dowolnym ciągiem dążącym do -∞ wtedy

TWIERDZENIE

1. jeżeli p>0 to
   

2. jeżeli p>0 to
   

3. 
   

4. jeżeli p>0 , to
   

5. jeżeli |x|<1 to
   

6. 
   

ZASADA ZBIEŻNOŚCI CIĄGU LICZBOWEGO

Ciąg
,
dla n=0,1,2… jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniony warunek Couchy'ego

Szeregi o wyrazach rzeczywistych

5