CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI RZECZYWISTEJ JEDNEJZMIENNEJ

Funkcję
będzie określona w pewnym otoczeniu punktu
tzn. dla
takich, że

nazywamy ciągłą w
gdy funkcja
posiada w
skończoną granicę oraz

Funkcję
będzie określona i ograniczona w pewnym otoczeniu
punktu
, oraz niech funkcja
będzie nieciągła w

Mówimy, że
ma NIECIĄGŁOŚĆ 1-GO RODZAJU jeżeli istnieje skończona granica jednostronna
,
przy czym, jeżeli
ma granicę
, to nieciągłość funkcji
w
nazywamy USUWALNĄ, a jeżeli nie istnieje granica
to nieciągłość tą nazywamy NIEUSUWALNĄ.

Mówimy, że funkcja
ma w
NIECIĄGŁOŚĆ 2-GO RODZAJU jeżeli nie istnieje choćby jedna z granica jednostronnych.

Twierdzenie 1

Jeżeli funkcja
,
są ciągłe w
, to funkcja
,
są też ciągłe w
.

Jeżeli ponad to
to
jest funkcją ciągłą w
.

TWIERDZENIE O CIĄGŁOŚCI SUPERPOZYCJI FUNKCJI CIĄGŁYCH

Jeżeli funkcja wewnętrzna
jest ciągła w
, a funkcja
jest ciągła
to funkcja złożona
jest ciągła w
.

Niech funkcja
będzie określona dla
,

Mówimy, że funkcja
jest prawostronnie ciągła w
jeżeli

Niech funkcja
będzie określona dla
,

Mówimy, że funkcja
jest lewostronnie ciągła w
jeżeli

Mówimy, że funkcja
jest ciągła na przedział domknięty
jeżeli funkcja
jest ciągła w każdym punkcie
oraz prawostronnie ciągła w

i lewostronnie ciągła

Mówimy, że funkcja
gdzie
jest przedziałem ograniczonym lub nieograniczonym osi rzeczywistej, jest jednostronnie ciągła na
jeżeli

Każda funkcja jednostronnie ciągła na
jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału
. Istnieją funkcje ciągłe, które nie są jednostajnie ciągłe.

WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH NA PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM

Zakładamy, że funkcja
jest ciągła na

1. Funkcja
   jest jednostajnie ciągła na
   

2. Funkcja
   jest ograniczona na
   , tzn.

3. Funkcja
   osiąga swoje kresy, tzn. istnieją takie Punty
   , że:

4. Jeżeli
   to istnieje taki punkt
   , że
   

5. Twierdzenie o własnościach Darbouxl

Jeżeli funkcja
jest ciągła na przedziale
(niekoniecznie domkniętym) oraz przyjmuje w punktach

dwie różne wartości

to funkcja

w przedziale
przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między
,
tj.

Wniosek

Wartości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym
wypełnia przedział domknięty

6. Jeżeli funkcja
   jest funkcją różnowartościową, ciągłą na przedziale domkniętym
   to funkcja odwrotna
   jest ciągła na przedział
   

2