ALGEBRA ZBIORÓW

Jako pojęcia pierwotne, tzn. takie, które nie definiujemy przyjmujemy:

zbiór ,element zbioru, przynależność elementu do zbioru.

Zdanie: x należy do zbioru A oznaczamy symbolem x
A

(x
A) (x
A)'

Jeżeli A
B, to A jest podzbiorem B

Zbiory identyczne A,B

(A=B)[(A
B)
(B
A)]

(A
B)[(A
B)
(A
B)]

Zbiorem pustym
nazywamy zbiór nie zawierający żadnego elementu.

Ponieważ x

=> x
A A-dowolny zbiór

więc zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Zbiór
oraz A to tzw. podzbiory niewłaściwe zbioru A.

Oznaczamy przez W(x) własność elementu x
X

Zbiór elementów posiadających własność W(x) oznaczamy następująco

{x
X:W(x)}

DZIAŁANIA NA ZBIORACH

♦ SUMA ZBIORÓW A,B

A
B={x: ( x
A)
( x
B)}

♦ ILOCZYN ZBIORÓW A,B

A
B={x: ( x
A)
( x
B)}

Jeżeli A
B =
to mówimy, że zbiory A,B są rozłączne

♦ RÓŻNICA ZBIORÓW A,B

A\B={x: ( x
A)
( x
B)}

♦ RÓŻNICE SYMETRYCZNE ZBIORÓW A,B

A
B={x:[( x
A)
( x
B)]
[( x
B)
( x
A)] }

PRAWA ALGEBRY ZBIORÓW

1. Prawo de Morgana

2. Prawo przemienności

3. Prawo łączności

4. Prawo rozdzielności

Dla liczb rzeczywistych a,b,c mamy a(b+c)=ab+ac a+(b*c)≠(a+)(a+c)

Jeżeli ograniczymy się do rozpatrywania podzbiorów danego zbioru X≠
to przy A
X piszemy

A'=X\A, A'- dopełnienie zbioru A

ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Iloczynem kartezjańskim - produktem kartezjańskim zbiorów niepustych A,B nazywamy zbiór par uporządkowanych (a,b) takich, że a
A, b
B oznaczamy ten zbiór symbolem

A
B={(a,b) : a
A, b
B}

RELACJE I FUNKCJE

Relacją między elementami zbiorów A,B nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego A
B.

Mówimy, że x
A oraz y
B pozostaje względem siebie w relacji R, co zapisujemy

xRy

jeżeli (x,y) należą do tego samego podzbioru, stąd

R={(x,y)
A
B : xRy}

Relacja f między elementami zbioru X oraz Y nazywa się funkcją, określoną na X o wartościach z Y.

Funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiorze Y co zapisujemy

f: X
Y lub y=f(x) dla x
X

wtedy X nazywamy dziedziną funkcji f,

a zbiór

Y₀= { y
Y : y=f(x) } dla x
X

nazywamy przeciw dziedziną funkcji f.

Jeżeli Y₀=Y to mówimy, że f jest suriekcją X na Y.

Relację f nazywamy funkcją odwzorowującą X w Y wzajemnie jednoznacznie lub funkcją wzajemnie jednoznaczną lub iniekcją, jeżeli

8