ZASTOSOWANIE POCHODNEJ DO BADANIA WYRAŻEŃ NIEOZNACZONYCH TYPU
,

Twierdzenie de L'Hospitala / Bernoulliego

Jeżeli :

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   

2. 
   
   

3. istnieje skończona pochodna
   ,
   przy czym
   to
   
   

Dowód: Z istnienia skończonych pochodnych
,
wynika, że funkcje
,
są ciągłe w
tzn.

Ponieważ
więc ze wzoru Taylora wynika, że istnieje takie otoczenie

, że
dla
zatem dla
mamy

Twierdzenie 2

Jeżeli :

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   

2. 
   
   

3. na przedziale
   istnieje skończona pochodna
   ,
   

przy czym pochodne te
dla

4. istnieje skończone pochodne
   ,
   przy czym
   to
   

Twierdzenie 3

Jeżeli:

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   
   

2. wyliczamy granicę
   

3. na przedziale
   istnieje skończona pochodna
   ,
   
   

przy czym

4. na przedziale
   
   istnieje skończona pochodna
   ,
   przy czym
   oraz istniej skończona lub nieskończona granica
   
   to
   

Uwaga: Twierdzenie to zachodzi również gdy

Twierdzenie 4

Jeżeli:

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   ,
   

2. 
   

3. na przedziale
   ,
   istnieje skończona pochodna
   ,
   przy czym
   oraz istniej skończona lub nieskończona granica
   
   to
   

Twierdzenie 5

Jeżeli:

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   ,
   

2. 
   

3. na przedziale
   ,
   istnieje skończona pochodna
   ,
   przy czym
   oraz istniej skończona lub nieskończona granica
   
   to
   

Uwaga: Jeżeli funkcja
,
dążą do
przy
to zamiast badać wyrażenie typu
można badać wyrażenie typu
gdyż

WYRAŻENIA NIEOZNACZONE TYPU

Nieoznaczoność typu
można sprowadzić do postaci
lub

Jeżeli
,
to piszemy

Jeżeli
,
to badając granicę
można napisać

Jeżeli
jest przy
wyrażeniem nieoznaczonym typu

to równanie
logarytmujemy obustronnie

1

---