Ciąg liczbowy to funkcja f: N → R. Dla ustalonej liczby n  ∈  N, wartość f(n) nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy a_n. Ciąg o takich wyrazach oznaczamy (a_n).

{a_n} to zbiór wyrazów ciągu.

Sposoby definicji ciągu:

• (wzór na n-ty wyraz): $a_{n} = \frac{n^{2} - 1}{n + 2}$

• (wzór rekurencyjny): a₁ = 1,  a₂ = 2,  a_n = a_n − 2 + a_n − 1,  n ≥ 3

• (opisowy): a_n – n-ta cyfra w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Przykład:

Czy ciąg $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ jest malejący?

$$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n + 1 + 1}{n + 1} - \frac{n + 1}{n} = \frac{n + 2}{n + 1} - \frac{n + 1}{n} = \frac{n\left( n + 2 \right) - {(n + 1)}^{2}}{n(n + 1)} = \frac{n^{2} + 2n - n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + n} = \frac{- 1}{n^{2} + n} < 0$$

Ciąg arytmetyczny:

• a_n + 1 − a_n = r dla n ≥ 1

• a_n = a₁ + (n−1)r

• $a_{1} + \ldots + a_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \bullet n$

Ciąg geometryczny:

• $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q\ dla\ n \geq 1$

• a_n = a₁ • q^n − 1

• $a_{1} + \ldots + a_{n} = \left\{ \begin{matrix} a_{1} \bullet n\ \ dla\ \ q = 1 \\ a_{1} \bullet \frac{1 - q^{n}}{1 - q}\ \ dla\ \ q \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ $

Rozważmy trzy ciągi: $a_{n} = \frac{1}{n + 1},\ b_{n} = 1 - \frac{1}{n},\ c_{n} = {( - 1)}^{n}$, których kolejnymi wyrazami są:

1. $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},\frac{1}{11}\ldots$

2. $0,\ \frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7},\frac{7}{8},\frac{8}{9},\frac{9}{10},\frac{10}{11}\ldots$

3. −1,  1,   − 1,  1,   − 1,  1,   − 1,  1,   − 1…

Gdy n rośnie, to wyrazy ciągu a_n zbliżają się coraz bardziej do liczny a=0; podobnie dla ciągu (b_n) (b=1); natomiast nie istnieje liczba c, do której zbliżają się wyrazy ciągu (c_n).

Mówimy, że ciąg (d_n) ma skończoną granicę d, co zapisujemy:

d_n = d (d_n → d)

jeśli:

∀_ε > 0∃_{n0 = n0(ε)}∀_n ∈ N[(n>n₀)→(|d_n−d|<ε)]

Jeśli ciągi (a_n) i (b_n) mają skończone granice a i b, to:

1. (a_n+b_n) = a + b

2. (a_n−b_n) = a − b

3. a_n•b_n = a • b

4. $\operatorname{}{\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b},\ b \neq 0,\ b_{n} \neq 0,\ n \geq 1}$

Ciąg (an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej ∞, co zapisujemy: a_n = ∞, jeśli:

∀_M > 0∃_{n0 = n0(M)}∀_n ∈ N[(n>n₀)→(a_n>M)]

Podobnie definiuje się zbieżność do -∞.

Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry ma skończoną granicę (podobnie dla nierosnącego i ograniczonego z dołu).

Z tego twierdzenia wynika, że ciąg $\operatorname{}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$ ma granicę. Tę granicę oznaczamy literą e.

$$\operatorname{}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e \approx 2,7182818\ldots$$

Co więcej:

$$\operatorname{}{\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n} = e^{- 1}}$$

Ponadto:

$$Jesli\ a_{n} > 0\ i\ a_{n} \rightarrow \infty,\ to\ \operatorname{}{\left( 1 + \frac{1}{a_{n}} \right)^{a_{n}} = e,\ \operatorname{}{\left( 1 - \frac{1}{a_{n}} \right)^{a_{n}} = e^{- 1}.}}$$

Granica ciągu geometrycznego:

$$\operatorname{}q^{n} = \left\{ \begin{matrix} \infty\ dla\ q > 1 \\ 1\ dla\ q = 1 \\ \begin{matrix} 0\ dla\ q < 1 \\ nie\ istnieje,\ gdy\ q \leq - 1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Twierdzenie o trzech ciągach:

1. a_n ≤ b_n ≤ c_n, n∈N

2. a_n = A,c_n = A,  to b_n = A

Twierdzenie o dwóch ciągach:

1. a_n ≤ b_n, n∈N

2. a_n = ∞,  to b_n = ∞

Wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach można pokazać, że dla każdego a>0: $\operatorname{}\sqrt[n]{a} = 1$.

Załóżmy, że a>1.

$$\left( a + b \right)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{\left( \frac{n}{k} \right)a^{k}b^{n - k}\ }\ $$

$$\sqrt[n]{a} = 1 + \varepsilon_{n},\ \text{gdzie}\varepsilon_{n} > 0,\ \text{bo}\ a > 1\ $$

$$\left( \sqrt[n]{a} \right)^{n} = \left( 1 + \varepsilon_{n} \right)^{n}\ $$

$$a = \left( 1 + \varepsilon_{n} \right)^{n} = \left( \varepsilon_{n} + 1 \right)^{n} = 1 \bullet \varepsilon_{n}^{0}1^{n} + n\varepsilon_{n}^{1}1^{n - 1} + \left( \frac{n}{2} \right)\varepsilon_{n}^{2}1^{n - 2} + \ldots + \left( \frac{n}{n} \right)\varepsilon_{n}^{n}1^{0} \geq \varepsilon_{n}^{0}1^{n} + n\varepsilon_{n}^{1}1^{n - 1} = 1 + n\varepsilon_{n}\ \ $$

a ≥ 1 + nε_n 

$$\ \frac{a - 1}{n} \geq \varepsilon_{n} \geq 0$$