Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 3 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl CIĄGI RZECZYWISTE – c.d.
Tw. Jeżeli ciąg ma granicę, to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy.
lim a
g ⇒
=
lim a
= g .
n
nk
n→∞
k →∞
Dow. W przedziale [ g-ε, g+ε] leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu ( an) a więc także prawie wszystkie wyrazy podciągu ( a ) .
nk
Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Dow. Rozważmy przypadek ciągu rosnącego ( a ) , ograniczonego od góry (dla malejącego i n
ograniczonego od dołu – analogicznie).
Niech { a 1, a 2,...} oznacza zbiór wyrazów ciągu ( a ) : jest to podzbiór R.
n
Z założenia { a
⇔ ∀ ∈
≤
1, a 2,...} jest ograniczony od góry a
M
n N
n
Z zasady ciągłości zbioru R istnieje (dokładnie jedna liczba rzeczywista) g = sup{ a , a ,...}
1
2
Z definicji kresu ∀ a ≤ g i ∀ε >
, a z założenia monotoniczności
0 ∃
a
n
n
≥ g − ε
n
n
0
0
∀
n≥
a
n
n ≥ g − ε
0
Podsumowując te fakty:
∀ε>0∃ n 0∈ N∀ n>
g
n
− ε ≤ an ≤ g
0
⇓
g − ε ≤ a
n ≤ g + ε
⇓
an − g ≤ ε
co oznacza , że lim a = g .
n
n→∞
Przykład 1. a
1
= 1 +
n
( ) n
n
∀ a
n
n
n ≤
3
- ograniczo y
n o
d g
óry
1
⇒ istnieje granica (powiedzmy e) e = lim1 + .
∀ a
a
n→∞
n
n
n+1 >
-
n
↑
n
1
Z „innych” obliczeń wiadomo, że e = lim1 +
≈ 2,7182818 .. . .
n→∞
n
a 1 = 2
Przykład 2
a
2
a
n+1 =
+ n
∀ ∈ a
n N
n ≤
2
- ograniczo y
n o
d g
óry⇒ jest zbieżny do g = lim a
∀
n
a
a
n→∞
n
n+1 >
n
↑
-
Ze wzoru ogólnego a
+
i
1 →
+ =
2
. Dokonując w tej równości przejścia granicznego ( a g
1
+ a
n
n
n
a → g ) otrzymujemy: g = 2 + g . Stąd g=2.
n
1
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 3 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl Nierówności w przejściach granicznych Tw. O zachowaniu słabej nierówności
∀
a
≥
≤ M ∧ lim a
g ⇒
=
g ≤ M
n n
n
n
0
n→∞
∀
a
≥
≥ m ∧ lim a
g
⇒
=
g ≥ m
n n
n
n
0
n→∞
Dow. (a.a.)
g − M
Niech g> M. Weźmy ε =
(połowa odległości między g i M. Z def. granicy prawie wszystkie 2
wyrazy ciągu leżą w przedziale [ g-ε, g+ε] → sprzeczność!
UWAGA: Nierówności ostre nie zachowują się w przejściach granicznych!
Np.
1
∀ ∈
a lim 1 = 0 .
n N
> 0
n
→∞ n
n
Konsekwencją twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności w przejściach granicznych jest następujące
Tw. (o trzech ciągach)
(∀ a
≥
≤ b ≤ c ∧ lim a = g ∧ lim c g ⇒
=
lim
=
n n
n
n
n
n
n
0
)
b
g
n
n→∞
n→∞
n→∞
Jako wniosek z powyższego uzyskujemy
Tw.
∀
a
M
b
a
b
n≥ n
n ≤
∧ lim
0 ⇒
n =
lim n ⋅ n = 0
0
n→∞
n→∞
Arytmetyka granic
Tw. Jeżeli lim a = a i lim b = b , to n
n
n→∞
n→∞
1.
lim( a ± b ) = a ± b n
n
n→∞
2.
lim( a b ) = ab
n
n
n→∞
3.
an
a
lim( ) = (∀
≠0 i b≠0 )
b
b
n bn
n
n
→∞
−
−
+
Dow. (punktu 3). 0 ≤
−
| an
a
− |=| a b ab
n
n | | a b a b a b ab
n
n n
n n
n
=
|
| a |
n
≤
| b − b |
1
+ | a − a |
b
b
b b
b b
| b || |
b
n
| |
b
n
n
n
n
n
Ciąg ( a
b
wynika, że
n =
n) (jako zbieżny) jest ograniczony powiedzmy przez M . Z faktu lim b ≠ 0
n→∞
lim | b | |
a stąd
| |
| b |
b
≥ dla prawie wszystkich n . Wobec tego 1
2
≤ dla prawie
n = b | > 0
n
2
| b |
| |
b
n→∞
n
wszystkich n.
2
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 3 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl Otrzymujemy wiec dla prawie wszystkich n nierówność 0 ≤| an a
− |
2 M
= ≤
| b − b |
1
+ | a − a | z
2
b
b
n
| |
b
n
n
b
której z twierdzenia o trzech ciągach i z punktu 1 otrzymujemy tezę.
Inne własności:
1
a) lim
1
⇒
a
= 0
n = +∞
lim
= 0
±∞
n→∞
n→∞ an
(
1
lim a
0
a
0
lim
1+ = ∞
n =
∧ ∀ n≥ n n
0
)
b)
⇒
>
= +∞
n→∞
n→∞ a
0
n
(
1
lim a
0
a
0
lim
1− = −∞
n =
∧ ∀ n≥ n n
0
)
c)
⇒
<
= −∞
n→∞
n→∞ a
0
n
(lim a a 0 lim b
lim a b
⇒
a > 0
a ∞ = ∞
n =
> ∧
n =
)
d)
⇒
+∞
n
n = +∞
n→∞
n→∞
n→∞
(
a
lim a
a
b
a = 0
n =
∧ lim n =
)
e)
n
⇒
+∞
lim
= 0
∞
n→∞
n→∞
n→∞ bn
(lim a a 0 lim b
lim a b
⇒
a < 0
a ∞ = −∞
n =
< ∧
n =
)
f)
⇒
+∞
n
n = −∞
n→∞
n→∞
n→∞
Symbole nieoznaczone: 0 ∞
∞
0
0
,
, 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞,1 , 0 , ∞ .
0
∞
Warunek Cauchy’ego. Mówimy , że ciąg ( a ) spełnia warunek Cauchy’ego , gdy n
(C)
∀ε>
.
0 ∃
a
a
n
,
0∈ N ∀ n m≥ n
m −
n ≤ ε
0
Uwaga. Nie ma tu mowy o granicy
Def. Ciąg spełniający warunek Cauchy’ego nazywamy ciągiem fundamentalnym
Tw. Dla ciągu liczb rzeczywistych prawdziwa jest równoważność: ( a ) - zbieżny ⇔ ciąg ( a ) spełnia warunek Cauchy’ego n
n
ε
Dowód.(⇒) Z założenia lim a = g mamy ∀ > ∃
:
. Stąd dla m, n ≥ n
n ∈ N
∀ n≥ a
n
n − g
n
ε
≤
0
0 mamy
n→∞
0
0
2
ε ε
| a
+
n- am| ≤ | an- g| + | am- g|≤
=ε , czyli spełniony jest warunek (C).
2
2
(⇐)(Szkic) ciąg ( a ) spełnia warunek Cauchy’ego⇒ ciąg ( a ) jest ograniczony ⇒ (tw. Bolzano-n
n
ε
Weierstrassa) ( a ) jest podciągiem zbieżnym do g. Stąd | a a | + | a - g| . Ale | a a |≤
n
n- g| ≤ | an-
n-
k
nk
nk
nk
2
ε
dla n , n
lim
=
k ≥ n 0 (z war. C) a | a
- g|≤ bo
a
g . Wobec tego | a
n
n- g|≤ ε dla n≥ n 0.
k
2
nk
k →∞
Ważne granice ciągów
n
1
1) Wiadomo, że lim1 +
= e . Stąd
n→∞
n
− n
a
1
n
1
1
lim1 −
= e ;
⇒
lim a
lim1 +
= e ;
⇒
lim b
lim(1 + b
=
n ) bn
e
n = 0
n = ±∞
n→∞
n
n→∞
n→∞
a
n→∞
n→∞
n
2) lim n n = 1
n→∞
3) lim n a = 1 ( a > 0 ) n→∞
3
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 3 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl 4)
an+
⇒
lim
1
lim a = 0
a
= g < 1
n
∞
→
n
∞
→
n
n
5)
n
⇒
lim
a
lim a = 0
n
= g < 1
n→∞
∞
→
n
n
α
n
6) lim
= 0 ( p > ,
0 α > 0)
→∞ 1
( + ) n
n
p
4