Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an), jeżeli dla każdej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba k, że dla każdego n >k zachodzi nierówność |an - g|<ε  (tzn. dla każdego ε > 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) należą do przedziału (g - ε; g + ε)).
	Oznaczamy lub an→ g
	Zapis symboliczny definicji granicy ciągu
	⇔ |an - g|< ε
	Jeżeli liczba g jest granicą  ciągu (an), to mówimy również, że - ciąg (an) dąży do g - ciąg (an) ma granicę skończoną,( właściwą).
	Ciąg, który ma granicę skończoną, nazywamy ciągiem zbieżnym.
	Ciąg,  który nie jest zbieżny,  nazywamy rozbieżnym.
	Zwrot prawie wszystkie wyrazy ciągu oznacza wszystkie wyrazy ciągu oprócz pewnej  skończonej ich liczby.
	Każdy ciąg zbieżny posiada tylko jedną granicę.
	Ciąg stały, czyli ciąg o wyrazie ogólnym an = c, gdzie c ∈ R, jest zbieżny i jego granicą jest liczba c.
	Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny do liczby g, to ciąg (bn) otrzymany z ciągu (an) przez usunięcie lub dołączenie lub zamianę dowolnej, ale skończonej liczby wyrazów, jest również zbieżny do liczby g.
	Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
	Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne i to
	(an+bn) = g1 + g2 (an - bn) = g1 - g2 (anbn) = g1g2

	gdy bn ≠ 0 i g2 ≠ 0
	Twierdzenie o trzech ciągach. Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne
	oraz istnieje liczba k taka, że dla każdego n > k zachodzą  nierówności  an <cn< bn, to ciąg (cn) jest zbieżny i
	Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny.
	Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny.
	Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +∞, jeśli dla każdej liczby d istnieje taka liczba k, że dla każdego n > k zachodzi nierówność an> d (tzn. prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) są większe od dowolnie wybranej liczby d).
	Oznaczamy
	⇔ an > d

	Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do - ∞, jeśli dla każdej liczby m istnieje taka liczba k, że dla każdego n > k zachodzi nierówność an < m (tzn. prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) są mniejsze od dowolnie wybranej liczby m).
	Oznaczamy
	⇔ an > m

	O ciągu rozbieżnym do +∞= (lub do -∞) mówimy, że ma granicę niewłaściwą.
	Jeśli (lub-∞) ∧ an≠0 ⇒ =0
	Jeśli ∧ an>0 ⇒ = +∞
	Jeśli ∧ an>0 ⇒ = -∞

	Granice niektórych ciągów
	1.     2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Granica funkcji

 

	Otoczeniem punktu x0 nazywamy każdy przedział otwarty, do którego należy punkt x0 . Oznaczamy U(x0)
	Za otoczenie punktu x0 często obiera się przedział otwarty o środku w punkcie x0: (x0- ε;x0+ ε), gdzie ε>0.   Oznaczamy U(x0, ε).
	x ∈ U(x0,ε) <=> |x- x0| < ε , gdzie ε > 0.
	Sąsiedztwem punktu x0 nazywamy zbiór U(x0)\ {x0}, gdzie U(x0) jest dowolnym otoczeniem punktu x0. Oznaczamy S(x0).
	Za sąsiedztwo punktu x0 często obiera się zbiór U(x0, δ) \ {x0} = ( x0 - δ ; x0) ∪ (x0; x0 + δ ), gdzie δ> 0. Oznaczamy S(x0,δ).
	x ∈ S(x0,δ ) <=> |x - x0| < δ,       gdzie δ > 0.
	Przedział (x0- δ; x0), gdzie δ> 0, nazywamy lewostronnym sąsiedztwem punktu x0
	Przedział (x0; x0 + δ ), gdzie δ > 0, nazywamy prawostronnym sąsiedztwem punktu x0
	Definicja Cauchyegof: D → R  funkcją określona w pewnym sąsiedztwie punktu x0 Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x0, gdy dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0,że dla każdego argumentu x prawdziwa jest implikacja x ∈ (x0 - δ, x0 + δ )\{x0}<=> f(x) ∈ (g - ε, g + ε) oznaczamy

	zapis symboliczny
	⇔ 0<|x - xo| < δ ⇒ | f(x) - g|< ε
	Liczba x0 nie musi należeć do dziedziny funkcji.

	Jeśli liczba g jest granicą funkcji, to mówimy, że funkcja ma granicę właściwą lub granicę skończoną.
	Definicja Heinego. Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0, jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji f zbieżnego do x0, o wyrazach różnych od x0, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zbieżny do g.
	Niech f: D -->> R będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie prawostronnym punktu x0.
	Liczbę g nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji f zbieżnego do x0, o wyrazach większych od x0, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zbieżny do g.
	Oznaczamy

	Niech f: D → R będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu x0.
	Liczbę g nazywamy granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0, jeśli dla każdego ciągu  (xn) argumentów funkcji f zbieżnego do x0, o wyrazach mniejszych od x0, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zbieżny do g.
	Oznaczamy
	Jeśli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu x0, to ⇔

	f: D → R funkcja określoną w pewnym sąsiedztwie punktu x0.
	Definicja Heinego. Funkcja f ma w punkcie   x0   granicę niewłaściwą   +∞, jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji f zbieżnego do x0, o wyrazach różnych od x0, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest rozbieżny do +∞. Oznaczamy = +∞
	Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą lewostronną -∞ ,jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji f zbieżnego do x0, o wyrazach mniejszych od x0, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest rozbieżny do -∞ .
	Oznaczamy = -∞
	f: D → R  funkcją określoną w pewnym przedziale (a; +∞).
	Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w plus nieskończoności, jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji f rozbieżnego do +∞, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zbieżny do g.
	Oznaczamy = g
	Funkcja f ma w plus nieskończoności granicę niewłaściwą +∞, jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji f rozbieżnego do   +∞,   odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  (f(xn)) jest rozbieżny do +∞.
	Oznaczamy = +∞
	Funkcja f ma w plus nieskończoności granicę niewłaściwą -∞, jeśli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji f rozbieżnego do   +∞,   odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  (f(xn)) jest rozbieżny do -∞.
	Oznaczamy = -∞
	Analogicznie określamy granice
	Jeżeli 0, -∞, +∞, 1 są granicami pewnych funkcji to wyrażenia typu nazywamy symbolami nieoznaczonymi.
	Reguła de FHóspitala. Jeżeli funkcje f i  g   są określone i różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie punktu x0 oraz spełnione są warunki:
	1. =0   lub   = ∞
	2.g(x) ≠ 0 i g '(x) ≠ 0 w pewnym sąsiedztwie punktu xo
	3.istnieje granica
	to istnieje granica oraz =
	Jeśli = +  (lub -), to prostą x = a nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f.
	Jeśli = +  (lub -), to prostą x = a nazywamy asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f.
	Prostą x = a nazywamy asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f, jeśli prosta ta jest jednocześnie asymptotą lewostronną i asymptotą prawostronną wykresu funkcji f.
	Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f. Prosta x = a jest asymptotą pionową obustronną funkcji f. Prosta x=a jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f.
	Jeśli = g,   to prostą    y = g nazywamy  asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji f

	Jeśli = g,   to prostą    y = g nazywamy  asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji f

	Jeśli = = g,    to   prostą  y = g   nazywamy   asymptotą   poziomą obustronną wykresu funkcji f
	Prosta y = g1 jest asymptotą poziomą prawostronną, a prosta y = g2 jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji f Prosta y = g jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji f.
	Prosta y = ax + b jest  asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
	[f(x) - (ax+b)] = 0
	Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
	[f(x) - (ax+b)] = 0

	Prostą  y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji  f, jeżeli jest jednocześnie asymptotą ukośną lewostronną i asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji.
	Jeśli = a     i [f(x) -ax)] = b
	to prosta y = ax + b jest asymptota ukośną lewostronną wykresu funkcji f.
	Jeśli = a     i [f(x) -ax)] = b
	to prosta y = ax + b jest asymptota ukośną prawostronną wykresu funkcji f.
	Jeżeli przynajmniej jedna z powyższych granic nie istnieje lub jest granicą  niewłaściwą, to wykres funkcji f nie ma asymptoty ukośnej lewostronnej. Analogiczna uwaga dotyczy asymptoty ukośnej prawostronnej.
	Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej y = ax + b  (gdy a = 0)

Ciągłość funkcji

 

	Funkcję f: D → R nazywamy ciągłą w punkcie x0 ∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
	i
	czyli 1. funkcja f ma w punkcie  x0 granicę g
	2.  granica g jest równa wartości funkcji w punkcie x0   tzn f( x0)
	Funkcję f: D → R   nazywamy prawostronnie ciągłą w punkcie x0 ∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
	i
	Funkcję f: D → R nazywamy lewostronnie ciągłą w punkcie xo∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
	i
	Funkcja f nie ma granicy w punkcie x0,więc nie jest ciągła w punkcie x0.  Funkcja f ma granicę w punkcie x0, ale nie jest ciągła w punkcie x0. Funkcja f jest ciągła w punkcie x0
	Ciągłość funkcji y=f(x) dla x0 ∈ D  badamy
	1.obliczając f( x0)  i
	2. sprawdzając, czy = f( x0)
	albo
	1.obliczając i

	2. sprawdzając, czy
	= = f( x0)
	Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, przy czym, jeśli dziedziną funkcji jest przedział jednostronnie lub obustronnie domknięty, to ciągłość funkcji w każdym należącym do niego końcu rozumiemy jako odpowiednią ciągłość jednostronną
	Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale <a; b>), jeżeli jest ciągła w przedziale (a; b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b.
	Własności funkcji ciągłych
	Jeżeli funkcje fig, określone w pewnym otoczeniu punktu x0, są ciągłe w punkcie x0 to funkcje f+ g, f - g,   f⋅g   oraz  f/g  (przy założeniu, że g (x0) ≠ 0) są ciągłe w punkcie x0.
	Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i rosnącej ( malejącej) w przedziale P jest ciągłą i rosnąca ( malejąca) w przedziale Y= f(P)
	Funkcja, która jest złożeniem funkcji ciągłych, jest funkcja ciągłą w swojej dziedzinie.
	Każda funkcja wielomianowa, funkcja wymierna, funkcja potęgowa, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcja trygonometryczna jest ciągła.
	Jeżeli funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu x0 jest w tym punkcie ciągła i f( x0)>0 (f( x0)<0 ) , to istnieje takie otoczenie U punktu x0  , że dla każdego x ∈ U zachodzi nierówność f(x)>0 (f(x)<0).
	(własność Darboux). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale <a; b> i f(a) ≠ f(b), to dla dowolnej liczby y takiej, że f(a) <y <f(b) (gdy f(a) < f(b)) lub f(a) > y >f(b) (gdy f (a) >f(b)) istnieje taki argument x ∈ (a; b), że f(x) = y.
	(wniosek)Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale (a; b) i przyjmuje na końcach tego przedziału wartości o różnych znakach, to istnieje taki argument c∈ (a;b), że f(c) = 0 (tzn. funkcja f ma w przedziale (a; b) co najmniej jedno miejsce zerowe).
	Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu wartości najmniejszej i wartości największej.
	Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale <a; b>, to jest w nim ograniczona i w pewnym punkcie tego przedziału przyjmuje wartość największą (f MAX) oraz w pewnym punkcie tego przedziału przyjmuje wartość najmniejszą( f MIN ).
	Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale <a; b>, to to istnieją liczby c1, c2 ∈<a; b> takie że f(c1)=f MIN    i             f(c2)=f MAX

           Pochodna funkcji

 

	Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U(x0) punktu x0 oraz niech x0 + h ∈ U(x0) i h ≠ 0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu argumentu x0 o liczbę h nazywamy stosunek
	Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
	f(x0+h) -  f(x0) = Δy             Δ x= h = tgα czyli iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty  (xo,f(xQ)) i (xo+ h, f(xo+ h))

	Interpretacja fizyczna ilorazu różnicowego 1. średnia prędkość poruszającego się punktu materialnego w przedziale czasu Δt, gdy droga s jest funkcją czasu t. 2.   średnie natężenie prądu w przedziale czasu Δt,gdy natężenie q jest funkcją czasu t.
	Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu x0. Jeżeli istnieje granica właściwa to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0.   Oznaczamy f '(x0 ).
	czyli
	f '(x0 )=
	Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x0, to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0 .
	Funkcję nazywamy różniczkowalna w zbiorze A, jeżeli ma pochodną w każdym punkcie zbioru A.
	Funkcję nazywamy różniczkowalna, jeżeli ma pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny.
	Interpretacja geometryczna pochodnej
	Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to styczną do wykresu funkcji f w punkcie P = (x0, f(x0)) nazywamy tę prostą przechodzącą przez punkt P, której współczynnik kierunkowy jest równy f '(x0). tgα= f '(x0 ) = czyli pochodna funkcji   jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie P = (xo,f(xo))   Styczna do wykresu funkcji może mieć więcej niż jeden punkt wspólny z wykresem tej funkcji.
	Interpretacja fizyczna pochodnej
	1. Jeżeli punkt P porusza się po osi liczbowej 0S i współrzędna s punktu P jest funkcją czasu t: s= s(t).Jeżeli Δt oznacza przyrost czasu, to iloraz różnicowy
	jest prędkością średnią punktu P od chwili t0 do chwili t0 + Δt. Granicę tego ilorazu różnicowego, gdy Δt --> 0, czyli pochodną funkcji s=s(t) w punkcie t0 nazywamy prędkością chwilową v(t) punktu P w chwili t0. Zatem v(t0) =s'(tQ)
	Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to styczna do wykresu funkcji f  w punkcie P = (xo,f(xo)) ma równanie y=f '(x0)(x - xo)+f (xo)
	Jeżeli prosta y = ax + b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P = (x0, y0), to:
	- a=f '(xQ)
	- y0 = ax0 + b,   ponieważ punkt P należy do prostej y = ax + b
	- y0 =f(x0), ponieważ punkt P należy do wykresu funkcji.
	Granicę właściwą