mgr Grzegorz Kusztelak Granice ciągów - przykłady PRZYKŁAD 1
Oblicz granice ciągu: n
n
n
lim 3 + 5
n→∞
Rozwiązanie:
Korzystamy z twierdzenia o trzech ciągach. W tym celu szacujemy nasz ciąg odpowiednio z dołu i z góry: n
n
n
n
n
n
n
n
5 ≤ 3 + 5 ≤ 5 + 5
n
n
n
n
n
5 ≤ 3 + 5 ≤ 2 ⋅ 5
n
n
n
n
5 ≤ 3 + 5 ≤ 5 ⋅ 2
5
5
Powyższe granice są równe 5 ponieważ: lim 5 = 5 (jako granica ciągu stałego) n→∞
lim 5
( ⋅ n 2) = 5 lim(⋅ n 2) = 5 ⋅1 = 5 (korzystamy tutaj z własności: lim n a = 1) n→∞
n→∞
n→∞
Ponieważ granice ciągów szacujących nasz ciąg odpowiednio z góry i z dołu są równe 5, więc granica naszego ("środkowego") ciągu również jest równa 5
Co zapisujemy:
lim n 3 n + 5 n = 5
n→∞
================================================
mgr Grzegorz Kusztelak PRZYKŁAD 2Oblicz granice ciągu: 2 n
1
1
lim −
n→∞
n
Rozwiązanie:
Zauważmy, że podstawiając za n nieskończoność uzyskujemy symbol nieoznaczony 1∞
Korzystamy zatem z własności: an
1
lim 1 +
= e o ile tylko granica ciągu a występującego w mianowniku i w wykładniku jest równa
→∞
n
a
n
n
nieskończoności (e oznacza tutaj tzw. stałą Eulera e ≈
72
.
2
Jest to liczba niewymierna).
U nas jest:
2 n
1
1
lim − =| przekształcamy tę granicę tak, aby w nawiasie było JEDEN PLUS JEDEN PRZEZ JAKIŚ CIĄG | =
n→∞
n
2 n
1
1
lim +
= | ten sam ciąg (ten z mianownika) ma wystąpić w wykładniku poza nawiasem no i oczywiście n→∞
− n
2
−
1 − n
1 +
−2
e
trzeba to tak zapisać, aby była to tylko inna postać tej samej granicy | = lim
=
n
−
→∞
n e
Pamiętajmy, że przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: ( a )3
4
12
= a
np.
n
2
−
−
2 n
1
1
1+
= 1+
podobnie:
− n
− n
mgr Grzegorz Kusztelak PRZYKŁAD 3
Oblicz granice ciągu: n
n 2 + 2
lim
→∞
2
n
n
Rozwiązanie:
0
2 n
2
2
n
n
2
n
n
2
n + 2
2
1
lim
= lim 1 +
= lim 1
0
+
= e = 1
n → ∞
2
2
2
n
n → ∞
n
n→ ∞
n
2
e