1

Granica ciągu

1. Oblicz granice następujących ciągów:

(a) a

n

= −2 −

3

n

b

n

= n −

1

n

c

n

=

n+1

n

2

d

n

=

n

2

n

(b) a

n

= (

3n

2

+n−2

4n

2

+2n+7

)

2

b

n

=

cos n

3

2n

−

3n

6n+1

c

n

=

n

2

+sin n+3

4n

2

−n

3

d

n

=

3

n

+n

2

2n

2

+1

(c) a

n

=

√

n

2

+ n + 1 −

√

n

2

− n + 1

b

n

= n

2

(n −

√

n

2

+ 1)

2. Oblicz granice wwykorzystując liczbę Eulera:

(a) a

n

= (

n+10
2n−1

)

n

b

n

= (1 +

3

n

2

)

n

2

+3

c

n

= (

5n+2
5n+1

)

15n

(b) a

n

= (

n

2

n

2

+1

)

n

2

b

n

= (

n+4
n+3

)

5−2n

c

n

= (1 +

1

n

)

3n−2

(c) a

n

= [(

3n+2
5n+2

)

n

· (

5n+3
3n+1

)

n

]

3. Oblicz granice wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach:

(a) a

n

=

n

√

n

2

+ 2

n

b

n

=

n

√

n

10

+ n!

c

n

=

n+2

√

3

n

+ 4

n+1

(b) a

n

=

n

√

3 + sin n

b

n

=

2n

2

+sin n1

4n

2

−3 cos n

2

c

n

=

2

n

sin n

3

n

+1

(c) a

n

=

n

q

1

n

+

2

n

2

+

3

n

3

+

4

n

4

b

n

=

n

√

1 + 5n

2

+ 3n

5

(d) a

n

=

1

n

2

+1

+

1

n

2

+2

+ . . . +

1

n

2

+n

1