Granice ciągów
nk
1. Dla jakich wartości k ciąg o wyrazach an =
będzie rozbieżny do +∞ ?
2 + 4 + · · · + 2n
2. Podać przykład ciągu niemonotonicznego, którego granicą jest liczba 2.
3. Wykazać, że jeżeli ciąg (an) jest ograniczony i lim bn = 0, to lim an · bn = 0.
n→∞
n→∞
4. Obliczyć następujące granice 1 + 2 + · · · + n
(n + 1)20 + (n + 2)20 + (n + 3)20
a) lim
b) lim
n→∞
n2
n→∞
2n20 + 1
7 + 2n
1
1
1
1
c) lim
d) lim (1 −
+
−
+ · · · + (−1)n
)
n→∞ 3n + 4n
n→∞
21
22
23
2n
√
n
n2 + 1
e) lim √
f) lim
2
n
3
→∞
8n3 + 2n + 1
n→∞ 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) np1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) (n + 2)! + n!
g) lim
h) lim
n→∞
2n2 + n + 1
n→∞ (n + 2)! − (n + 1)!
(n + 2)!
i) lim
j) lim [ log(10n2 + 1) − 2 log n ]
n→∞
n2 · n!
n→∞
p
p
p
k) lim ( 4n2 + 2n − 4n2 + 2)
l) lim ( n2 + 1 − n) cos n!.
n→∞
n→∞
1
a
b
5. Wyznaczyć liczby a i b takie, że
=
+
dla x ∈ R − {0, 1}. Następnie obliczyć (x − 1)x
x − 1
x
1
1
1
1
lim
+
+
+ . . . +
.
n→∞
1 · 2
2 · 3
3 · 4
(n − 1)n
2n + 3n
6. Niech Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu an =
. Obliczyć lim Sn.
6n
n→∞
1 n
7. Dla jakich parametrów k ciąg an = 1 +
jest rozbieżny?
k
2n
dla n ¬ 100
8. Obliczyć lim a
1+n2
n, gdy an =
, n ∈ N+.
n→∞
1−n
dla n > 100
1+n
9. Dany jest ciąg o wyrazach
nk
(n!)2
a) an =
.
b) an =
.
kn
(2n)!
an
Obliczyć lim
+1 .
n→∞
an
10. Podać i uzasadnić twierdzenie o trzech ciągach 11. Korzystając z tw. o trzech ciągach wykazać, że
√
√
a) lim n a = 1 dla dowolnego a > 0, b) lim n n = 1
n→∞
n→∞
12. Wyznaczyć granice ciągów
√
√
a) an = n 2 · 3n + 4 · 7n
b) bn = n 3n + sin n
s (−1)n
1
2
n
c) cn = n
+ 2n
d) dn =
+
+ . . . +
n
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
13. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym pokazać, że ciąg n
1
X
an =
n + k
k=1
jest zbieżny.
KursPG.W G.