Wanda Gryglewicz-Kacerka
Matematyka
————————————————————————————————————————
Semestr 1 Informatyka
Ciągi i granice ciągu
Wanda Gryglewicz-Kacerka
Matematyka
————————————————————————————————————————
Semestr 1 Informatyka
Ciągi i granice ciągu
2
Matematyka Ciągi i granice
Spis treści
WIERDZENIE O CIĄGU OGRANICZONYM
Ciągi i granice
3
Matematyka Ciągi i granice
1. Ciągi i granice ciągu
Wykład obejmuje pojęcia dotyczące ciągów, granic ciągów i wyznaczania granic
ciągów.
1.1
Ciąg liczbowy
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też
uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje
się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej
precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych,
ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i
zespolon
ym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym.
Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
Ciągi i granice
4
Matematyka Ciągi i granice
Przykładami ciągów mogą być następujące:
ciąg pięciu elementów zbioru liczb naturalnych;
ciąg liczb całkowitych 1 oraz − 1 przyjmowanych naprzemiennie;
ciąg kolejnych liczb pierwszych;
ciąg wszystkich liczb wymiernych uporządkowanych w jakiś sposób.
Nieskończony ciąg liczbowy określa się jako przyporządkowanie każdej liczbie
naturalnej jednej liczby rzeczywistej u
n
.
Zapis ciągu
,...
,...
,
,
n
3
2
1
u
u
u
u
Ciągi i granice
5
Matematyka Ciągi i granice
lub
n
u
,..
,
,
3
2
1
u
u
u
nazywane są wyrazami ciągu,
n
u
wyraz ogólny ciągu.
Przykład
Ciągi i granice
6
Matematyka Ciągi i granice
Wyraz ogólny ciągu
,...
,
, 3
2
1
n
n
1
n
u
n
Wyrazy ciągu
,..
,
,
3
4
u
2
3
u
2
u
3
2
1
1.2
Granica ciągu
Definicja Cauchy’ego
Liczbę g nazywa się granicą ciągu u
n
, jeżeli dla każdego
>0 istnieje taka liczba
, że
dla każdego n>
spełniona jest nierówność
Ciągi i granice
7
Matematyka Ciągi i granice
Granica ciągu
g
u
n
Zapisuje się granicę
Granica ciągu
g
u
n
n
lim
Zapis zwięzły
Granica ciągu
g
u
g
u
n
n
0
n
lim
(oznaczenia:
g
u
n
lim
wtedy i tylko wtedy
Ciągi i granice
8
Matematyka Ciągi i granice
0
dla każdego epsilon większego od zera
istnieje takie
delta, że
n
dla każdego n> delta
Spełniony jest warunek
g
u
n
Przykład
Dowód, że liczba 1 jest granicą ciągu o ogólnym wyrazie
Ciągi i granice
9
Matematyka Ciągi i granice
,...
,
, 3
2
1
n
n
1
n
u
n
Poszukiwana jest liczba
, dla której spełniony jest warunek
Granica ciągu
n
1
n
1
n
Oznaczenie:
dla każdego
Wyrażenie w nawiasie można zapisać w postaci
Ciągi i granice
10
Matematyka Ciągi i granice
n
1
1
n
1
n
1
n
n
1
1
n
1
n
Istnieje liczba
spełniająca podany warunek a 1 jest granicą ciągu.
Ciągi i granice
11
Matematyka Ciągi i granice
g
g-
g+
1 2 3
7
4
n
Prawie wszystkie elementy mieszczą się w pasku epsylonowym. Oznacza to dla
ciągu nieskończonego, że mieszczą się poza skończoną liczbą wyrazów.
Ciągi i granice
12
Matematyka Ciągi i granice
Definicja
Liczba g jest granicą ciągu, jeżeli prawie wszystkie elementy ciągu leżą w otoczeniu
punktu g na osi liczbowej.
Przykład
Wyznaczyć granicę ciągu
Ciąg
1
1
1
1
u
n
u
n
n
Rozwiązanie
Rozważa się wyraz pomocniczy
Wyraz pomocniczy
1
1
n
n
n
n
a
n
n
a
Ciągi i granice
13
Matematyka Ciągi i granice
Dwumian
Newtona
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
a
n
a
n
n
...
1
2
1
1
1
1
2
2
1
Pominięcie
wyrazów
0
1
2
1
2
2
n
n
a
a
n
n
Ciągi i granice
14
Matematyka Ciągi i granice
Przeksz-
tałcenie
2
2
2
2
1
!
2
!
2
!
2
1
2
1
n
n
n
a
n
n
a
n
n
n
n
a
n
n
n
a
na
n
n
2
2
2
2
n
n
n
a
n
n
2
1
2
2
2
2
2
1
n
n
n
n
Ciągi i granice
15
Matematyka Ciągi i granice
Spełniona jest zależność
1
2
0
2
n
n
n
Granicą ciągu jest 1.
Oznaczenie:
dl
a każdego epsilon większego od zera
istnieje takie
delta, że
2
2
Ciągi i granice
16
Matematyka Ciągi i granice
Dla każdego
n
Spełniona jest zależność:
1
n
n
Ciągi i granice
17
Matematyka Ciągi i granice
0
10
20
30
40
50
60
0
0.5
1
1.5
1+0.2
1-0.2
delta
Wyrazy ciągu
n
n
n
u
Ciągi i granice
18
Matematyka Ciągi i granice
Wybrano
1
50
50
2
2
.
0
2
n
n
n
Definicja
Ciąg, który ma granicę nazywa się ciągiem zbieżnym
Ciąg, który nie ma granicę nazywa się ciągiem rozbieżnym
Ciągi mogą być rozbieżne do -
lub +
.
1.3
Ciągi rozbieżne do
Definicja ciągu rozbieżnego do +
Ciągi i granice
19
Matematyka Ciągi i granice
Rozbieżny
M
u
n
n
M
n
u
lim
Rozbieżny
M
u
n
n
M
n
u
lim
Przykład ciągu rozbieżnego do
Ciągi i granice
20
Matematyka Ciągi i granice
2
1
lim
n
n
Dowód
Trzeba znaleźć liczbę M i
.
2
2
1
1
n
M
M
n
także
M
M
n
n
M
1
1
1
2
Niech M=
3.
2
3
1
1
M
Ciągi i granice
21
Matematyka Ciągi i granice
3
1
2
2
n
n
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-25
-20
-15
-10
-5
0
-3
delta>2
Ciągi i granice
22
Matematyka Ciągi i granice
1.4
Twierdzenie o ciągu ograniczonym
Twierdzenie
Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
Ograniczoność jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym zbieżności.
Przykład
Ciąg
n
n
u
1
Jest ograniczony, ale nie jest zbieżny
Ciągi i granice
23
Matematyka Ciągi i granice
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ciąg ograniczony i rozbieżny
Ciągi i granice
24
Matematyka Ciągi i granice
Twierdzenie
Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny
Jeżeli ciąg jest np. niemalejący i ograniczony z góry, to istnieje kres górny
n
u
K
sup
Dowód, że
K
u
n
lim
Z określenia kresu górnego wynika, że
u
K
N
0
:
Ciąg jest niemalejący, więc
Ciągi i granice
25
Matematyka Ciągi i granice
n
n
n
u
K
u
u
Poni
eważ
K
u
n
K
u
K
u
K
K
K
u
n
n
n
n
lim
Ciąg o wyrazie ogólnym
n
n
n
1
1
u
Ciągi i granice
26
Matematyka Ciągi i granice
jest ograniczony i rosnący.
Dowód, że jest ograniczony
n
3
2
n
n
n
n
1
n
n
n
1
3
n
n
1
2
n
n
1
1
n
1
n
1
1
u
...
n
n
3
2
n
n
n
n
n
1
1
n
n
n
3
n
3
n
3
n
n
2
n
2
n
1
1
u
!
!
!
!
!
...
!
!
!
!
!
!
Ciągi i granice
27
Matematyka Ciągi i granice
!
...
!
!
...
!
!
!
)
(
n
n
1
n
1
n
2
1
n
1
1
2
n
1
1
2
n
n
1
n
n
2
n
1
n
n
n
2
n
2
2
n
1
n
n
2
u
n
2
n
Ciągi i granice
28
Matematyka Ciągi i granice
3
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
n
1
1
n
1
2
1
2
u
1
n
1
n
n
...
!
!
...
!
Ciąg jest ograniczony.
Dowód, że ciąg u
n
jest rosnący.
W tym celu dla dowolnego
N
n
należy obliczyć iloraz:
Ciągi i granice
29
Matematyka Ciągi i granice
1
n
1
n
1
n
1
n
n
1
n
n
1
n
n
1
1
1
n
1
1
n
1
n
n
1
1
1
n
1
1
n
1
1
n
1
1
1
n
1
1
n
1
1
n
1
1
1
n
1
1
u
u
Ciągi i granice
30
Matematyka Ciągi i granice
1
n
2
2
2
1
n
2
1
n
1
n
1
1
n
1
1
n
2
n
n
n
1
n
1
n
2
n
n
n
1
n
n
1
n
1
n
2
n
n
1
n
Stosując nierówność Bernoulliego stwierdza się, że
Ciągi i granice
31
Matematyka Ciągi i granice
1
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
1
n
1
n
2
1
n
2
czyli ciąg u
n
j
est rosnący.
Przypomnienie
Nierówność Bernoulliego - oszacowanie z dołu wielomianu
nx
x
x
R
x
N
n
n
1
1
1
0
Ciąg jest ograniczony i rosnący. Istnieje zatem granica tego ciągu. Granicą ciągu jest
liczba e
Ciągi i granice
32
Matematyka Ciągi i granice
...
.
59
7182818284
2
e
Przykład
Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
n
n
n
u
4
1
Rozwiązanie. Wiadomo, że
e
n
u
n
n
n
n
1
1
lim
lim
Wzór ogólniejszy
Ciągi i granice
33
Matematyka Ciągi i granice
e
a
u
n
a
n
n
n
n
1
1
lim
lim
jeżeli
)
0
(
)
0
lim
(
n
n
n
a
a
W danym przypadku:
)
0
(
)
0
lim
(
;
4
n
n
n
n
a
a
n
a
;
4
4
1
n
n
a
n
4
4
4
1
4
4
1
lim
1
lim
lim
e
n
a
u
n
n
a
n
n
n
n
n
Koniec przykładu
Ciągi i granice
34
Matematyka Ciągi i granice
1.5 Twierdzenie o trzech ciągach
Jeżeli
g
v
u
n
n
lim
lim
a oprócz tego
g
w
v
w
u
n
n
n
n
n
lim
0
0
Przykład
Dany jest ciąg
n
7
5
3
w
n
n
n
n
n
Ciągi i granice
35
Matematyka Ciągi i granice
Rozwiązanie
Spełniona jest nierówność
n
n
n
n
n
n
n
7
7
7
7
5
3
7
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
7
7
7
7
5
3
7
n
n
n
n
n
3
7
7
5
3
7
Można dowieść, że
1
a
n
n
lim
Zatem
Ciągi i granice
36
Matematyka Ciągi i granice
7
1
7
3
7
n
n
lim
Granice ciągów
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
7
v
7
7
7
7
u
7
lim
lim
lim
lim
Spełniona jest zależność
Ciągi i granice
37
Matematyka Ciągi i granice
7
w
7
v
u
v
w
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
lim
lim
lim
1.6 Twierdzenie o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów
Jeżeli ciągi
n
n
v
u ,
są zbieżne i mają granice
Ciągi i granice
38
Matematyka Ciągi i granice
b
v
a
u
n
n
lim
,
lim
to istnieją następujące granice dla wyrazów tworzących sumę, różnicę, iloczyn i
iloraz:
0
b
b
a
v
u
b
a
v
u
b
a
v
u
b
a
v
u
n
n
n
n
n
n
n
n
lim
lim
lim
lim
Ciągi i granice
39
Matematyka Ciągi i granice
Oznaczenie:
wynika że
Dowód dla sumy
2
b
v
b
v
2
a
u
a
u
n
n
n
n
n
n
2
2
1
1
lim
lim
Ciągi i granice
40
Matematyka Ciągi i granice
b
a
v
u
2
2
b
v
a
u
b
a
v
u
n
n
n
n
n
n
n
2
1
,
max
a+b jest granicą ciągu.
Przykład
1
0
1
n
1
1
n
n
lim
Ciągi i granice
41
Matematyka Ciągi i granice
1.7 Twierdzenie o granicach ciągów rozbieżnych do
0
u
0
u
u
1
0
u
n
n
n
n
lim
lim
Przykład
1
lim
1
lim
0
lim
;
1
1
2
2
n
u
u
n
u
n
n
n
Koniec przykładu.
0
u
1
u
n
n
lim
lim
Ciągi i granice
42
Matematyka Ciągi i granice
Granica iloczynu wyrazów ogólnych, z których jeden ma granicę +
a drugi ciąg jest
zbieżny
0
a
0
a
v
u
a
v
u
n
n
n
n
lim
lim
lim
Przykład
1
4
2
3
1
1
2
lim
lim
1
4
2
3
lim
lim
;
2
1
1
2
lim
lim
2
2
n
n
n
n
v
u
n
n
u
n
n
v
n
n
n
n
Ciągi i granice
43
Matematyka Ciągi i granice
Koniec przykładu
0
v
u
0
v
M
u
n
n
n
n
lim
lim
,
0
v
M
u
n
n
v
u
n
n
lim
lim
,
a
v
u
a
v
u
n
n
n
n
lim
lim
lim
Ciągi i granice
44
Matematyka Ciągi i granice
a
v
a
v
a
u
n
n
n
lim
lim
lim
0
a
a
0
a
We wzorach oznaczono przez 0
+
liczbę zbliżającą się do 0 przez wartości dodatnie,
przez 0
-
liczbę zbliżającą się do 0 przez wartości ujemne.
Ciągi i granice
45
Matematyka Ciągi i granice
a
0
0
a
a
0
0
a
0
a
0
a
0
a
0
a
Ciągi i granice
46
Matematyka Ciągi i granice
0
u
1
a
0
0
a
n
0
u
1
a
0
0
a
n
a
1
0
a
a
1
a
0
b
0
b
b
0
b
Istnieje kilka symboli nieoznaczonych, dla których nie można od razu podać wyniku i
Ciągi i granice
47
Matematyka Ciągi i granice
trzeba analizować je w konkretnej sytuacji.
0
0
0
1
0
0
0
Przykładowo
e
n
n
1
1
lim
chociaż
1
1
1
lim
n
oraz
n
lim
Przykład
1
1
lim
1
2
2
2
2
n
n
n
v
n
u
n
n
n
Ciągi i granice
48
Matematyka Ciągi i granice
Często korzysta się w tych przypadkach z reguł opartych na rachunku różniczkowym.
0
0
0
1
0
n
n
lim
0
a
n
0
1
a
n
n
lim
Ciągi i granice
49
Matematyka Ciągi i granice
0
n
a
R
a
n
n
!
lim
1
a
0
a
n
n
lim
1
n
n
n
lim
Ciągi i granice
50
Matematyka Ciągi i granice
1
a
1
a
1
1
a
0
1
a
istnieje
nie
a
n
n
lim
Literatura
51
Matematyka Ciągi i granice
Literatura
[1]
Decewicz G., Żakowski W.: Matematyka. Cz.I Analiza matematyczna. WNT 2005.
[2]
Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach. Cz. 1. PWN 2006.
[3] Analiza matematyczna_1. www.wazniak.mimuw.edu.pl
Zadanie:
Które z podanych ciągów są arytmetyczne (uzasadnij)?
a). 1, 2, 3, 4, 5, ...
b). 2, 4, 8, 16, 32, ...
c). -2, -4, -6, -8, ...
d). 1, 2, 5, 7, 8, ...
e). 1, 2,1,1
Podaj 5 początkowych wyrazów ciągu:
a). a
n
=3n
b). a
n
=5n-1
c). a
n
=n+1
d). a
n
=2n-2
Oblicz granicę ciągu:
Oblicz:
Sumą ciągów (a
n
), (b
n
)
Różnicą ciągów (a
n
), (b
n
)
Literatura
52
Matematyka Ciągi i granice
Iloczynem ciągów (a
n
), (b
n
)
Ilorazem ciągów (a
n
), (b
n
)
Dla a
n
=3n , b
n
=5n-1