mgr Grzegorz Kusztelak

Granice ciągów - przykłady

PRZYKŁAD 1

Oblicz granice ciągu:

n

n

n

n

5

3

lim

+

∞

→

Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia o trzech ciągach. W tym celu szacujemy nasz ciąg odpowiednio z dołu i z góry:

n

n

n

n

n

n

n

n

5

5

5

3

5

+

≤

+

≤

n

n

n

n

n

5

2

5

3

5

⋅

≤

+

≤

n

n

n

n

2

5

5

3

5

⋅

≤

+

≤

5

5

Powyższe granice są równe 5 ponieważ:

5

5

lim

=

∞

→

n

(jako granica ciągu stałego)

5

1

5

)

2

(

lim

5

)

2

5

(

lim

=

⋅

=

⋅

=

⋅

∞

→

∞

→

n

n

n

n

(korzystamy tutaj z własności:

1

lim

=

∞

→

n

n

a

)

Ponieważ granice ciągów szacujących nasz ciąg odpowiednio z góry i z dołu są równe 5,

więc granica naszego ("środkowego") ciągu również jest równa 5

Co zapisujemy:

5

5

3

lim

=

+

∞

→

n

n

n

n

================================================

mgr Grzegorz Kusztelak

PRZYKŁAD 2

Oblicz granice ciągu:

n

n

n

2

1

1

lim











 −

∞

→

Rozwiązanie:

Zauważmy, że podstawiając za n nieskończoność uzyskujemy symbol nieoznaczony

1

∞

Korzystamy zatem z własności:

e

a

n

a

n

n

=













+

∞

→

1

1

lim

o ile tylko granica ciągu

n

a

występującego w mianowniku i w wykładniku jest równa

nieskończoności (e oznacza tutaj tzw. stałą Eulera

72

.

2

≈

e

Jest to liczba niewymierna).

U nas jest:

n

n

n

2

1

1

lim











 −

∞

→

=| przekształcamy tę granicę tak, aby w nawiasie było JEDEN PLUS JEDEN PRZEZ JAKIŚ CIĄG | =

n

n

n

2

1

1

lim













−

+

∞

→

= | ten sam ciąg (ten z mianownika) ma wystąpić w wykładniku poza nawiasem no i oczywiście

trzeba to tak zapisać, aby była to tylko inna postać tej samej granicy | =

2

1

1

lim

−

−

∞

→



























−

+

n

n

n

=

2

−

e

Pamiętajmy, że przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:

np.

( )

12

3

4

a

a

=

podobnie:

n

n

n

n

2

2

1

1

1

1













−

+

=



























−

+

−

−

e

mgr Grzegorz Kusztelak

PRZYKŁAD 3

Oblicz granice ciągu:

n

n

n

n













+

∞

→

2

2

2

lim

Rozwiązanie:

1

2

1

1

lim

2

1

lim

2

lim

0

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=





















































+

=











 +

=













+

∞

→

∞

→

∞

→

e

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

e

0