mgr Grzegorz Kusztelak
Granice ciągów - przykłady
PRZYKŁAD 1
Oblicz granice ciągu:
n
n
n
n
5
3
lim
+
∞
→
Rozwiązanie:
Korzystamy z twierdzenia o trzech ciągach. W tym celu szacujemy nasz ciąg odpowiednio z dołu i z góry:
n
n
n
n
n
n
n
n
5
5
5
3
5
+
≤
+
≤
n
n
n
n
n
5
2
5
3
5
⋅
≤
+
≤
n
n
n
n
2
5
5
3
5
⋅
≤
+
≤
5
5
Powyższe granice są równe 5 ponieważ:
5
5
lim
=
∞
→
n
(jako granica ciągu stałego)
5
1
5
)
2
(
lim
5
)
2
5
(
lim
=
⋅
=
⋅
=
⋅
∞
→
∞
→
n
n
n
n
(korzystamy tutaj z własności:
1
lim
=
∞
→
n
n
a
)
Ponieważ granice ciągów szacujących nasz ciąg odpowiednio z góry i z dołu są równe 5,
więc granica naszego ("środkowego") ciągu również jest równa 5
Co zapisujemy:
5
5
3
lim
=
+
∞
→
n
n
n
n
================================================
mgr Grzegorz Kusztelak
PRZYKŁAD 2
Oblicz granice ciągu:
n
n
n
2
1
1
lim
−
∞
→
Rozwiązanie:
Zauważmy, że podstawiając za n nieskończoność uzyskujemy symbol nieoznaczony
1
∞
Korzystamy zatem z własności:
e
a
n
a
n
n
=
+
∞
→
1
1
lim
o ile tylko granica ciągu
n
a
występującego w mianowniku i w wykładniku jest równa
nieskończoności (e oznacza tutaj tzw. stałą Eulera
72
.
2
≈
e
Jest to liczba niewymierna).
U nas jest:
n
n
n
2
1
1
lim
−
∞
→
=| przekształcamy tę granicę tak, aby w nawiasie było JEDEN PLUS JEDEN PRZEZ JAKIŚ CIĄG | =
n
n
n
2
1
1
lim
−
+
∞
→
= | ten sam ciąg (ten z mianownika) ma wystąpić w wykładniku poza nawiasem no i oczywiście
trzeba to tak zapisać, aby była to tylko inna postać tej samej granicy | =
2
1
1
lim
−
−
∞
→
−
+
n
n
n
=
2
−
e
Pamiętajmy, że przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:
np.
( )
12
3
4
a
a
=
podobnie:
n
n
n
n
2
2
1
1
1
1
−
+
=
−
+
−
−
e
